电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
9、曲面 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=0.5\left(e^{u}+e^{-u}\right) \cos v \\ y=0.5\left(e^{u}+e^{-u}\right) \sin v, \text { 求 }(u, v)=\left(0, \frac{\pi}{4}\right) \text { 点处的切平面和法线方程．} \\ z=0.5\left(e^{u}-e^{-u}\right)\end{array}\right.$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算参数对应的空间点坐标
将 $u=0$ 和 $v=\frac{\pi}{4}$ 代入曲面参数方程：
$x = \frac{1}{2}(e^u + e^{-u})\cos v$，$y = \frac{1}{2}(e^u + e^{-u})\sin v$，$z = \frac{1}{2}(e^u - e^{-u})$。
当 $u=0$ 时，$e^0 + e^0 = 2$，$\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$，$e^0 - e^0 = 0$，$z=0$。
代入 $v=\frac{\pi}{4}$：$x = 1 \cdot \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$y = 1 \cdot \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
因此点坐标为 $P_0\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$。
公式：$P_0 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$
提示：注意双曲函数与三角函数的精确值，避免计算错误。
步骤 2/5
目标：求切向量 $\mathbf{r}_u$ 和 $\mathbf{r}_v$
利用双曲函数简化：令 $\cosh u = \frac{e^u+e^{-u}}{2}$，$\sinh u = \frac{e^u-e^{-u}}{2}$，则曲面为 $x = \cosh u \cos v$，$y = \cosh u \sin v$，$z = \sinh u$。
对 $u$ 求偏导：$\mathbf{r}_u = (\sinh u \cos v,\; \sinh u \sin v,\; \cosh u)$。
在 $(u,v)=(0,\frac{\pi}{4})$ 处，$\sinh 0=0$，$\cosh 0=1$，得 $\mathbf{r}_u = (0,0,1)$。
对 $v$ 求偏导：$\mathbf{r}_v = (-\cosh u \sin v,\; \cosh u \cos v,\; 0)$。
代入 $u=0$，$\cosh 0=1$，$v=\frac{\pi}{4}$，得 $\mathbf{r}_v = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$。
公式：$\mathbf{r}_u = (0,0,1)$，$\mathbf{r}_v = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$
提示：偏导计算时注意链式法则，双曲函数求导：$(\sinh u)' = \cosh u$，$(\cosh u)' = \sinh u$。
步骤 3/5
目标：计算法向量
法向量 $\mathbf{n} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$，计算叉积：
$\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}$。
按第一行展开：
$\mathbf{i}$ 分量：$0 \cdot 0 - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\mathbf{j}$ 分量：$-(0 \cdot 0 - 1 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\mathbf{k}$ 分量：$0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$。
故 $\mathbf{n} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$，可简化为方向 $(1,1,0)$。
公式：$\mathbf{n} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$
提示：叉积计算时注意符号，尤其是 $\mathbf{j}$ 分量前的负号。
步骤 4/5
目标：写出切平面方程
切平面过点 $P_0\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$，法向量取 $\mathbf{n} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$，方程为：
$-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2}\left(y - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 0 \cdot (z - 0) = 0$。
两边乘以 $-\frac{2}{\sqrt{2}}$ 化简：$\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(y - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$，即 $x + y - \sqrt{2} = 0$。
公式：$x + y - \sqrt{2} = 0$
提示：化简时注意系数处理，最终方程应简洁。
步骤 5/5
目标：写出法线方程
法线方向向量取 $\mathbf{n}$ 的简化方向 $(1,1,0)$，过点 $P_0\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$。
由于 $z$ 方向分量为 0，法线在 $z=0$ 平面内，参数方程为：
$\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2}}{2} + t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} + t \\ z = 0 \end{cases}$，$t$ 为参数。
对称式表示为：$x - \frac{\sqrt{2}}{2} = y - \frac{\sqrt{2}}{2}$，$z=0$。
公式：$x - \frac{\sqrt{2}}{2} = y - \frac{\sqrt{2}}{2}$，$z=0$
提示：当法向量某分量为 0 时，法线方程需单独说明该坐标恒定。
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