电子科技大学 2026年数学分析第0题

给定第二类曲面积分： \[ \iint_{\Sigma} \frac{1}{x} \, dy\,dz + \frac{1}{y} \, dz\,dx + \frac{1}{z} \, dx\,dy \] 其中 $\Sigma$ 是椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的外侧。 若直接使用高斯公式，令 $P=\frac{1}{x}, Q=\frac{1}{y}, R=\frac{1}{z}$，则散度为： \[ \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} = -\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right) \] 但原点 $(0,0,0)$ 在椭球内部，被积函数和散度在原点处发散，因此不能直接对整个椭球内部应用高斯公式。

作线性变换： \[ x = a u, \quad y = b v, \quad z = c w \] 则椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 变为单位球面 $u^2+v^2+w^2=1$，且外侧对应外侧。 面积元变换关系（注意定向保持为正）： \[ dy\,dz = (b\,dv)(c\,dw) = bc\, dv\,dw \] \[ dz\,dx = (c\,dw)(a\,du) = ca\, dw\,du \] \[ dx\,dy = (a\,du)(b\,dv) = ab\, du\,dv \] 被积函数变为： \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{a u}, \quad \frac{1}{y} = \frac{1}{b v}, \quad \frac{1}{z} = \frac{1}{c w} \]

在单位球面 $u^2+v^2+w^2=1$ 上，外侧法向量的方向余弦为 $(u,v,w)$。对于第二类曲面积分，投影面积元满足： \[ dv\,dw = u\, dS, \quad dw\,du = v\, dS, \quad du\,dv = w\, dS \] 其中 $dS$ 是单位球面的面积元。 代入变换后的积分： \[ \iint_{\text{单位球面}} \frac{bc}{a} \cdot \frac{1}{u} \cdot u\, dS + \frac{ca}{b} \cdot \frac{1}{v} \cdot v\, dS + \frac{ab}{c} \cdot \frac{1}{w} \cdot w\, dS \] 每个分式中 $u,v,w$ 恰好消去，被积函数简化为常数： \[ \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + \frac{ab}{c} \]

单位球面的面积为 $4\pi$。因此积分结果为： \[ \iint_{\Sigma} \frac{1}{x} dy\,dz+\frac{1}{y} dz\,dx+\frac{1}{z} dx\,dy = \left( \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + \frac{ab}{c} \right) \cdot 4\pi \] 即： \[ \boxed{4\pi \left( \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + \frac{ab}{c} \right)} \]