电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
14、证明 Dini 定理：$K$ 是一个非空紧集，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $K$ 上连续，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调递减收敛于 0 ，证明函数列 $f_{n}(x)$ 在 $K$ 上一致收敛于 $f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确条件和目标
已知：
- $K$ 是非空紧集（在实数空间或度量空间中）。
- 每个 $f_n: K \to \mathbb{R}$ 连续。
- 对每个固定的 $x \in K$，数列 $\{f_n(x)\}$ 单调递减且趋于 $0$。
- 要证明：$f_n \rightrightarrows 0$ 在 $K$ 上（即一致收敛）。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, \forall x \in K: |f_n(x)| < \varepsilon
提示：注意单调递减且收敛到0意味着$f_n(x) \ge 0$，因此绝对值可以去掉。
步骤 2/6
目标：用定义转化一致收敛条件
一致收敛到0等价于：对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，使得对所有$n\ge N$和所有$x\in K$，有$f_n(x)<\varepsilon$。由于$f_n(x)\ge 0$，只需证明$\sup_{x\in K} f_n(x) < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n\ge N, \sup_{x\in K} f_n(x) < \varepsilon
提示：这里利用了非负性简化了绝对值处理。
步骤 3/6
目标：构造开覆盖并利用连续性
对任意给定的$\varepsilon > 0$，因为逐点收敛到0，对每个$x \in K$，存在一个指标$n_x$使得$f_{n_x}(x) < \varepsilon$。由于$f_{n_x}$连续，存在一个开邻域$U_x$包含$x$，使得对所有$y \in U_x$，有$f_{n_x}(y) < \varepsilon$。
公式：f_{n_x}(x) < \varepsilon \Rightarrow \exists U_x \text{开邻域}, \forall y \in U_x: f_{n_x}(y) < \varepsilon
提示：连续性保证了局部的不等式可以扩展到邻域。
步骤 4/6
目标：利用紧集有限覆盖性质
集合$\{U_x : x \in K\}$是$K$的一个开覆盖。因为$K$紧，存在有限个点$x_1, x_2, \dots, x_m$使得$K \subset \bigcup_{i=1}^m U_{x_i}$。令$N = \max\{ n_{x_1}, n_{x_2}, \dots, n_{x_m} \}$。
公式：K \subset \bigcup_{i=1}^m U_{x_i}, \quad N = \max_{1\le i\le m} n_{x_i}
提示：紧性是有限覆盖定理的关键，确保我们能取到公共的指标$N$。
步骤 5/6
目标：利用单调性得到一致估计
现在对任意$n \ge N$和任意$y \in K$：存在某个$i$使得$y \in U_{x_i}$。由邻域性质，$f_{n_{x_i}}(y) < \varepsilon$。因为函数列关于$n$单调递减，且$n \ge n_{x_i}$（因为$N \ge n_{x_i}$），所以$f_n(y) \le f_{n_{x_i}}(y) < \varepsilon$。这对所有$y \in K$成立，因此$\sup_{y\in K} f_n(y) \le \varepsilon$。
公式：f_n(y) \le f_{n_{x_i}}(y) < \varepsilon, \quad \forall y \in K, \forall n \ge N
提示：单调递减性保证了指标越大函数值越小，从而可以用较小的指标控制较大的指标。
步骤 6/6
目标：得出结论
由$\varepsilon$任意小，即得$f_n$在$K$上一致收敛到0。证毕。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in K} f_n(x) = 0
提示：注意这里没有使用任何额外的条件，完全依赖紧性和单调性。
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