电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
15、 $f(x)$ 是 $C^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ 上的连续可微函数，$\Omega$ 是光滑的简单闭区域，若
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0,
$$
则 $f$ 称为 $\Omega$ 上的调和函数．
（1）证明： $\displaystyle \int_{\partial \Omega} \frac{\partial f}{\partial n} d s=\iint_{\Omega}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right) d \sigma$ ，其中 $n$ 是 $f$ 在 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量．
（2）荐 $f$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，且二阶连续可微，证明：
$$
f(x)=\frac{1}{2 \pi r} \int_{\partial B(x, r)} f(x) d s=\frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{H(x, r)} f(x) d \sigma
$$
其中 $B(x, r)$ 是任意闭球，$x \in \partial \Omega$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明散度定理形式：将梯度场代入二维高斯公式
考虑向量场 $\mathbf{F} = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$。二维散度定理（高斯定理）指出：对于光滑闭区域 $\Omega$，有
$$
\int_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, ds = \iint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, d\sigma,
$$
其中 $\mathbf{n}$ 是单位外法向量。计算得 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \nabla f \cdot \mathbf{n} = \frac{\partial f}{\partial n}$，且 $\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$。代入即得结论。
公式：\int_{\partial \Omega} \frac{\partial f}{\partial n} \, ds = \iint_{\Omega} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right) d\sigma
提示：注意 $\frac{\partial f}{\partial n}$ 是方向导数，定义为 $\nabla f \cdot \mathbf{n}$，不要与偏导数混淆。
步骤 2/5
目标：引入球面平均函数并参数化
固定点 $x$，定义球面平均函数 $\phi(r) = \frac{1}{2\pi r} \int_{\partial B(x,r)} f(y) \, ds(y)$。采用极坐标参数化：令 $y = x + r\omega$，其中 $\omega = (\cos\theta, \sin\theta)$ 是单位圆上的点，弧长微元 $ds = r\, d\theta$，则
$$
\phi(r) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x + r\omega(\theta)) \, d\theta.
$$
公式：\phi(r) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x + r\omega) \, d\theta
提示：注意 $\phi(r)$ 与 $x$ 有关，但 $x$ 固定，故视为 $r$ 的函数。
步骤 3/5
目标：对平均函数求导并利用调和性质
对 $\phi(r)$ 关于 $r$ 求导，利用莱布尼茨法则：
$$
\phi'(r) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \nabla f(x+r\omega) \cdot \omega \, d\theta.
$$
注意到 $\omega$ 是径向单位向量，且 $\nabla f \cdot \omega = \frac{\partial f}{\partial n}$（外法向方向导数），因此
$$
\phi'(r) = \frac{1}{2\pi r} \int_{\partial B(x,r)} \frac{\partial f}{\partial n} \, ds.
$$
由（1）的结论，$\int_{\partial B(x,r)} \frac{\partial f}{\partial n} \, ds = \iint_{B(x,r)} \Delta f \, d\sigma$。因为 $f$ 是调和函数，$\Delta f = 0$，故 $\phi'(r) = 0$。
公式：\phi'(r) = \frac{1}{2\pi r} \int_{\partial B(x,r)} \frac{\partial f}{\partial n} \, ds = 0
提示：求导时注意 $\frac{\partial}{\partial r} f(x+r\omega) = \nabla f \cdot \omega$，这是链式法则的直接应用。
步骤 4/5
目标：由常值性和连续性得到球面平均值公式
由于 $\phi'(r)=0$，$\phi(r)$ 与 $r$ 无关，即对任意 $r>0$，$\phi(r) = \lim_{r\to 0^+} \phi(r)$。当 $r\to 0$ 时，$B(x,r)$ 收缩到点 $x$，由 $f$ 的连续性，平均值趋于 $f(x)$，即 $\lim_{r\to 0} \phi(r) = f(x)$。因此
$$
\phi(r) = f(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) = \frac{1}{2\pi r} \int_{\partial B(x,r)} f(y) \, ds(y).
$$
公式：f(x) = \frac{1}{2\pi r} \int_{\partial B(x,r)} f \, ds
提示：极限过程 $r\to 0$ 要求 $f$ 连续，题目中 $C^2$ 保证连续性。
步骤 5/5
目标：由球面平均值推导球体平均值公式
对球体 $B(x,r)$ 上的积分采用极坐标累次积分：
$$
\iint_{B(x,r)} f(y) \, d\sigma(y) = \int_{0}^{r} \left( \int_{\partial B(x,\rho)} f(y) \, ds(y) \right) d\rho.
$$
由已证的球面平均值公式，内层积分等于 $2\pi \rho \cdot f(x)$，代入得
$$
\iint_{B(x,r)} f \, d\sigma = \int_{0}^{r} 2\pi \rho \, f(x) \, d\rho = \pi r^2 f(x).
$$
两边除以 $\pi r^2$ 即得球体平均值公式。
公式：f(x) = \frac{1}{\pi r^2} \iint_{B(x,r)} f \, d\sigma
提示：注意积分变量 $\rho$ 是半径，$\partial B(x,\rho)$ 的周长为 $2\pi\rho$，不要遗漏因子。
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