福州大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
一．（20 分）计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{e^{-\frac{(x-1)^{2}}{2}}-\cos (x-1)}{(x-1)^{2} \sqrt{2 x-x^{2}}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量代换简化极限表达式
令 $t = x - 1$，则当 $x \to 1$ 时，$t \to 0$。原极限化为：
$$
\lim_{t \to 0} \frac{e^{-t^2/2} - \cos t}{t^2 \sqrt{2(1+t) - (1+t)^2}}.
$$
计算分母中的根号：
$$
2(1+t) - (1+t)^2 = 2 + 2t - (1 + 2t + t^2) = 1 - t^2,
$$
所以原极限为：
$$
\lim_{t \to 0} \frac{e^{-t^2/2} - \cos t}{t^2 \sqrt{1 - t^2}}.
$$
公式：$\sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - t^2}$
提示：注意根号内化简时不要遗漏符号，确保完全平方展开正确。
步骤 2/4
目标：分离非奇异因子
由于 $\sqrt{1 - t^2} \to 1$ 当 $t \to 0$，该因子在极限中不产生奇异，可以提到极限外面：
$$
\lim_{t \to 0} \frac{e^{-t^2/2} - \cos t}{t^2 \sqrt{1 - t^2}} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{-t^2/2} - \cos t}{t^2} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{-t^2/2} - \cos t}{t^2} \cdot 1.
$$
因此只需计算核心极限 $L = \lim_{t \to 0} \frac{e^{-t^2/2} - \cos t}{t^2}$。
公式：$\lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} = 1$
提示：分离因子时要确认其极限存在且非零，这里根号部分极限为1，可直接分离。
步骤 3/4
目标：对分子进行泰勒展开
将 $e^{-t^2/2}$ 和 $\cos t$ 展开到 $t^4$ 项（因为分母是 $t^2$，需要展开到足够高阶以确定极限）：
$$
e^{-t^2/2} = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{8} + o(t^4),
$$
$$
\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + o(t^4).
$$
两式相减：
$$
e^{-t^2/2} - \cos t = \left(1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{8}\right) - \left(1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24}\right) + o(t^4) = \frac{t^4}{8} - \frac{t^4}{24} + o(t^4).
$$
公式：$e^{-t^2/2} = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{8} + o(t^4)$, $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + o(t^4)$
提示：泰勒展开时注意阶数，分母是 $t^2$，分子需展开到 $t^4$ 才能得到非零主项。
步骤 4/4
目标：化简分子并计算极限
化简分子差：
$$
\frac{t^4}{8} - \frac{t^4}{24} = \frac{3t^4 - t^4}{24} = \frac{2t^4}{24} = \frac{t^4}{12} + o(t^4).
$$
代入核心极限：
$$
L = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^4}{12} + o(t^4)}{t^2} = \lim_{t \to 0} \left( \frac{t^2}{12} + o(t^2) \right) = 0.
$$
因此原极限为0。
公式：$\frac{e^{-t^2/2} - \cos t}{t^2} = \frac{t^2}{12} + o(t^2)$
提示：当分子主项为 $t^4$ 时，除以 $t^2$ 后得到 $t^2$ 项，极限为0，不要误以为极限不存在。
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