福州大学 2026年数学分析第0题

已知函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，且反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。需要证明 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。

假设结论不成立，即存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $X > 0$，存在 $x > X$ 满足 $|f(x)| \ge \varepsilon_0$。这意味着存在一列 $x_n \to +\infty$，使得 $|f(x_n)| \ge \varepsilon_0$。

由 $f$ 一致连续，对 $\varepsilon_0 > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x-y| < \delta$ 时，$|f(x)-f(y)| < \frac{\varepsilon_0}{2}$。取 $x_n$ 满足 $|f(x_n)| \ge \varepsilon_0$，则对任意 $y \in [x_n, x_n+\delta]$，有 $|f(y)| \ge |f(x_n)| - |f(x_n)-f(y)| > \varepsilon_0 - \frac{\varepsilon_0}{2} = \frac{\varepsilon_0}{2}$。

由于 $x_n \to +\infty$，可以选取子列（仍记为 $x_n$）使得 $x_{n+1} > x_n + 2\delta$，从而区间 $[x_n, x_n+\delta]$ 互不相交。每个区间长度均为 $\delta$，且在其上 $|f(x)| > \frac{\varepsilon_0}{2}$。

考虑积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 的收敛性。由于 $f$ 在 $I_n$ 上恒正或恒负（绝对值大于常数），有 $\left|\int_{I_n} f(x) \, dx\right| \ge \int_{I_n} \frac{\varepsilon_0}{2} \, dx = \frac{\varepsilon_0}{2} \cdot \delta > 0$。因为有无穷多个这样的 $I_n$，且它们互不相交，所以 $\int_a^{+\infty} |f(x)| \, dx$ 发散，从而 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 不绝对收敛，但由积分收敛性（条件收敛或绝对收敛）可知，若 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty} |f(x)| \, dx$ 不一定收敛，然而这里 $f$ 在 $I_n$ 上符号不变（由一致连续性可保证在足够小的区间内符号不变，但更直接地，$|f(x)| > \varepsilon_0/2$ 意味着 $f(x)$ 恒正或恒负，否则会穿过零点导致绝对值变小，但此处我们只考虑绝对值积分下界），实际上，$\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛意味着 $\int_{I_n} f(x) \, dx$ 的和收敛，但每个 $\left|\int_{I_n} f(x) \, dx\right| \ge \frac{\varepsilon_0 \delta}{2}$，无穷多个正数之和发散，矛盾。

因此假设不成立，故 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。