福州大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．（20分）证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ 存在最大值和最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明函数在闭区间上有界
用反证法。假设 \( f(x) \) 在 \([a,b]\) 上无上界，则对每个正整数 \( n \)，存在 \( x_n \in [a,b] \) 使得 \( f(x_n) > n \)。数列 \(\{x_n\}\) 有界，由波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，存在收敛子列 \(\{x_{n_k}\}\)，设其极限为 \( x_0 \in [a,b] \)。由 \( f \) 的连续性，\( f(x_0) = \lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) \ge \lim_{k\to\infty} n_k = +\infty \)，矛盾。故 \( f \) 有上界。同理可证有下界。
公式：\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = f(\lim_{k\to\infty} x_{n_k}) = f(x_0)
提示：注意反证法假设无界时构造的数列可能不唯一，但总能找到收敛子列；连续性保证极限与函数值交换。
步骤 2/4
目标：证明最大值存在
令 \( M = \sup_{x\in[a,b]} f(x) \)，由第一步知 \( M \) 为有限实数。根据上确界定义，存在数列 \(\{y_n\} \subset [a,b]\) 使得 \( \lim_{n\to\infty} f(y_n) = M \)。数列 \(\{y_n\}\) 有界，故存在收敛子列 \(\{y_{n_k}\}\)，设其极限为 \( y_0 \in [a,b] \)。由连续性得 \( f(y_0) = \lim_{k\to\infty} f(y_{n_k}) = M \)，因此 \( y_0 \) 是最大值点。
公式：f(y_0) = \lim_{k\to\infty} f(y_{n_k}) = M = \sup_{x\in[a,b]} f(x)
提示：上确界 \( M \) 可能不是函数值，但通过数列逼近和子列收敛性可证明取到。
步骤 3/4
目标：证明最小值存在
类似地，令 \( m = \inf_{x\in[a,b]} f(x) \)，存在数列 \(\{z_n\} \subset [a,b]\) 使得 \( f(z_n) \to m \)。取收敛子列 \(\{z_{n_k}\}\)，极限 \( z_0 \in [a,b] \)，由连续性得 \( f(z_0) = m \)，即最小值存在。
公式：f(z_0) = \lim_{k\to\infty} f(z_{n_k}) = m = \inf_{x\in[a,b]} f(x)
提示：最小值证明与最大值完全对称，注意下确界数列的构造。
步骤 4/4
目标：总结结论
综上，闭区间 \([a,b]\) 上的连续函数 \( f(x) \) 必能取到最大值和最小值。
提示：该定理依赖于闭区间和连续性两个条件，缺一不可。
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