福州大学 2026年数学分析第0题

观察曲线方程：$y^3 = x$ 和 $y^3 = 2x$ 可化为 $\frac{y^3}{x}=1$ 和 $\frac{y^3}{x}=2$；$xy=1$ 和 $xy=2$ 直接为常数。因此设新变量 $u = \frac{y^3}{x}$，$v = xy$。则原边界变为 $u=1$，$u=2$，$v=1$，$v=2$，在 $(u,v)$ 平面内形成一个矩形区域。

由 $v = xy$ 得 $x = \frac{v}{y}$，代入 $u = \frac{y^3}{x}$ 得 $u = \frac{y^3}{v/y} = \frac{y^4}{v}$，所以 $y^4 = uv$，即 $y = (uv)^{1/4}$。进而 $x = \frac{v}{y} = \frac{v}{(uv)^{1/4}} = v^{3/4} u^{-1/4}$。计算雅可比行列式： $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$ 其中 $\frac{\partial x}{\partial u} = -\frac14 v^{3/4} u^{-5/4}$，$\frac{\partial x}{\partial v} = \frac34 v^{-1/4} u^{-1/4}$，$\frac{\partial y}{\partial u} = \frac14 u^{-3/4} v^{1/4}$，$\frac{\partial y}{\partial v} = \frac14 u^{1/4} v^{-3/4}$。 行列式值为 $\left(-\frac14 v^{3/4} u^{-5/4}\right)\left(\frac14 u^{1/4} v^{-3/4}\right) - \left(\frac34 v^{-1/4} u^{-1/4}\right)\left(\frac14 u^{-3/4} v^{1/4}\right) = -\frac{1}{16u} - \frac{3}{16u} = -\frac{1}{4u}$。取绝对值得 $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \frac{1}{4u}$。因此面积元变换为 $dx\,dy = \frac{1}{4u}\,du\,dv$。

区域在 $(u,v)$ 下为 $1 \le u \le 2$，$1 \le v \le 2$。面积 $S = \iint dx\,dy = \int_{v=1}^{2} \int_{u=1}^{2} \frac{1}{4u}\,du\,dv$。先对 $u$ 积分：$\int_{1}^{2} \frac{1}{4u}\,du = \frac14 [\ln u]_{1}^{2} = \frac14 \ln 2$。再对 $v$ 积分：$S = \int_{1}^{2} \frac14 \ln 2\,dv = \frac14 \ln 2 \cdot (2-1) = \frac14 \ln 2$。