福州大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
六．（25 分）计算单位时间内不可压缩流体（密度为 1 ）以速度 $\displaystyle \mathbf{v}=x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}$ 流过曲面 $\displaystyle \Sigma$ 的流量，其中 $\displaystyle \Sigma: x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 1$ ，指向下侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与公式
流量公式为 $Q = \iint_{\Sigma} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \, dS$，其中 $\mathbf{v} = (x^2, y^2, z^2)$，密度为1。曲面 $\Sigma$ 是锥面 $x^2 + y^2 = z^2$，$0 \le z \le 1$，法向量指向下侧（即 $z$ 减小的方向）。
公式：Q = \iint_{\Sigma} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \, dS
提示：注意曲面方向对流量正负的影响，指向下侧意味着法向量与 $z$ 轴正方向相反。
步骤 2/6
目标：曲面参数化
将锥面参数化为：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = r$，其中 $0 \le r \le 1$，$0 \le \theta \le 2\pi$。这是因为 $x^2 + y^2 = r^2 = z^2$，且 $z \ge 0$。
公式：\mathbf{r}(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)
提示：参数化时确保 $z = r$ 与锥面方程一致，且 $r$ 的范围对应 $z$ 的范围。
步骤 3/6
目标：计算法向量并确定方向
计算偏导：$\mathbf{r}_r = (\cos\theta, \sin\theta, 1)$，$\mathbf{r}_\theta = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0)$。法向量为：
$$\mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_\theta = (-r\cos\theta, -r\sin\theta, r)$$
该向量 $z$ 分量为正，指向上侧。题目要求指向下侧，故取相反方向：
$$\mathbf{n} \, dS = (r\cos\theta, r\sin\theta, -r) \, dr d\theta$$
公式：\mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_\theta = (-r\cos\theta, -r\sin\theta, r)
提示：叉积结果的正负决定法向量方向，需根据题目要求调整符号。
步骤 4/6
目标：计算被积函数
速度场在参数化下：$\mathbf{v} = (r^2\cos^2\theta, r^2\sin^2\theta, r^2)$。点乘得：
$$\mathbf{v} \cdot (r\cos\theta, r\sin\theta, -r) = r^3\cos^3\theta + r^3\sin^3\theta - r^3$$
流量积分为：
$$Q = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} (r^3\cos^3\theta + r^3\sin^3\theta - r^3) \, dr d\theta$$
公式：\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \, dS = (r^3\cos^3\theta + r^3\sin^3\theta - r^3) \, dr d\theta
提示：点乘时注意各项对应相乘，不要遗漏负号。
步骤 5/6
目标：积分计算
先对 $r$ 积分：$\int_0^1 r^3 \, dr = \frac{1}{4}$。代入得：
$$Q = \int_0^{2\pi} \left( \frac{1}{4}\cos^3\theta + \frac{1}{4}\sin^3\theta - \frac{1}{4} \right) d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} (\cos^3\theta + \sin^3\theta - 1) \, d\theta$$
由于 $\int_0^{2\pi} \cos^3\theta \, d\theta = 0$，$\int_0^{2\pi} \sin^3\theta \, d\theta = 0$，$\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi$，所以：
$$Q = \frac{1}{4} (0 + 0 - 2\pi) = -\frac{\pi}{2}$$
公式：\int_0^{2\pi} \cos^3\theta \, d\theta = 0, \quad \int_0^{2\pi} \sin^3\theta \, d\theta = 0
提示：奇函数在完整周期内积分为零，注意 $\cos^3\theta$ 和 $\sin^3\theta$ 的周期性。
步骤 6/6
目标：结果解释
流量为 $-\frac{\pi}{2}$，负号表示实际流量方向与所取法向方向（指向下侧）相反，即流体总体上向上流动。但题目只要求计算流量数值，故答案为 $-\frac{\pi}{2}$。
公式：Q = -\frac{\pi}{2}
提示：负号不代表错误，而是反映方向关系，需根据题目要求确认是否保留。
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