福州大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．（20 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫域与和函数，其中 $\displaystyle a_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确数列 a_n 的定义与性质
由题，$a_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}$。该数列是交错调和级数的部分和，当 $n \to \infty$ 时，$a_n \to \ln 2$，因此 $a_n$ 有界且极限非零。
公式：$a_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}$，$\lim_{n\to\infty} a_n = \ln 2$
提示：注意 $a_n$ 不是单调的，但极限存在，因此 $\sqrt[n]{|a_n|} \to 1$。
步骤 2/5
目标：求收敛半径
对于幂级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$，收敛半径 $R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$。由于 $a_n \to \ln 2$，故 $\sqrt[n]{|a_n|} \to 1$，因此 $R = 1$。
公式：$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} = 1$
提示：当通项趋于非零常数时，根值判别法直接给出半径 $R=1$。
步骤 3/5
目标：判断端点收敛性
当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^\infty a_n$，由于 $a_n \to \ln 2 \neq 0$，通项不趋于零，级数发散。当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^\infty a_n (-1)^n$，$a_n \to \ln 2$，故 $(-1)^n a_n$ 不趋于零，级数也发散。因此收敛域为开区间 $(-1, 1)$。
公式：端点 $x=1$ 和 $x=-1$ 均发散
提示：判断端点时，必须检查通项是否趋于零，这是级数收敛的必要条件。
步骤 4/5
目标：利用部分和生成函数公式求和函数
设 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n x^n$，$|x|<1$。由于 $a_n = \sum_{k=1}^n b_k$，其中 $b_k = \frac{(-1)^{k-1}}{k}$，利用部分和序列的生成函数公式：$\sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{k=1}^n b_k \right) x^n = \frac{1}{1-x} \sum_{k=1}^\infty b_k x^k$。因此 $S(x) = \frac{1}{1-x} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k$。
公式：$\sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{k=1}^n b_k \right) x^n = \frac{1}{1-x} \sum_{k=1}^\infty b_k x^k$
提示：该公式成立的条件是 $|x|<1$，且内层求和绝对收敛。
步骤 5/5
目标：代入已知展开式得到和函数
已知 $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k = \ln(1+x)$，$|x|<1$。代入得 $S(x) = \frac{\ln(1+x)}{1-x}$，$|x|<1$。在端点 $x=-1$ 处 $\ln(1+x)$ 无定义，$x=1$ 处分母为零，与发散结论一致。
公式：$S(x) = \frac{\ln(1+x)}{1-x}$，$|x|<1$
提示：注意 $\ln(1+x)$ 的展开式仅在 $|x|<1$ 时成立，端点需单独判断。
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