苏州大学 2023年数学分析第1题
📝 题目
1．（20分）求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(5+\sin x)^{x}-5^{x}}{\tan ^{2} x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：处理第一题：将幂指函数取对数，转化为求对数极限
设 $a_n = \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{1/n}$，则 $\ln a_n = \frac{1}{n} \ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)$。
公式：$\ln a_n = \frac{1}{n} \ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)$
提示：幂指函数求极限常用取对数法，将指数部分转化为乘积形式。
步骤 2/7
目标：第一题：利用等价无穷小简化对数部分
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n^2} \to 0$，由等价无穷小 $\ln(1+u) \sim u$（$u \to 0$），得 $\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n^2}$。
公式：$\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n^2}$
提示：注意等价无穷小的使用条件：变量趋于0。
步骤 3/7
目标：第一题：计算对数极限并还原原极限
于是 $\ln a_n \sim \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n^3} \to 0$，所以 $\lim_{n\to\infty} \ln a_n = 0$，从而 $\lim_{n\to\infty} a_n = e^0 = 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} a_n = e^{\lim \ln a_n} = e^0 = 1$
提示：对数极限为0时，原极限为1，不要误以为极限为0。
步骤 4/7
目标：处理第二题：化简分子，提取公因式
原式 $= \lim_{x \to 0} \frac{5^x\left[\left(1+\frac{\sin x}{5}\right)^x - 1\right]}{\tan^2 x}$。当 $x\to 0$ 时，$5^x \to 1$，分母 $\tan^2 x \sim x^2$。
公式：$(5+\sin x)^x - 5^x = 5^x\left[\left(1+\frac{\sin x}{5}\right)^x - 1\right]$
提示：提取公因式后，注意 $5^x$ 在 $x=0$ 处连续，可直接代入。
步骤 5/7
目标：第二题：对括号内的幂指函数取对数展开
令 $y = \left(1+\frac{\sin x}{5}\right)^x$，则 $\ln y = x \ln\left(1+\frac{\sin x}{5}\right)$。当 $x\to 0$，$\sin x \sim x$，故 $\ln\left(1+\frac{\sin x}{5}\right) \sim \frac{\sin x}{5} \sim \frac{x}{5}$，所以 $\ln y \sim \frac{x^2}{5}$。
公式：$\ln y \sim \frac{x^2}{5}$
提示：注意此处是两次等价无穷小替换：先替换 $\sin x$，再替换 $\ln(1+u)$。
步骤 6/7
目标：第二题：利用指数展开得到分子的主部
于是 $y = e^{\frac{x^2}{5} + o(x^2)} = 1 + \frac{x^2}{5} + o(x^2)$，所以分子 $\sim 5^x \cdot \frac{x^2}{5} \sim \frac{x^2}{5}$（因为 $5^x \to 1$）。
公式：$\left(1+\frac{\sin x}{5}\right)^x = 1 + \frac{x^2}{5} + o(x^2)$
提示：展开到 $x^2$ 项即可，因为分母是 $x^2$ 阶。
步骤 7/7
目标：第二题：计算极限并得出结果
分母 $\tan^2 x \sim x^2$，因此原极限 $= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2}{5}}{x^2} = \frac{1}{5}$。
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{(5+\sin x)^x - 5^x}{\tan^2 x} = \frac{1}{5}$
提示：最后约去 $x^2$ 时，注意确认分子分母同阶。
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