苏州大学 2023年数学分析第2题
📝 题目
2．（10 分）设 $\displaystyle 0<x<\pi$ ，证明： $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln \left(1+\frac{\sin x}{2}\right)}-\frac{2}{\sin x}<1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量代换简化不等式
由于 $x \in (0, \pi)$，$\sin x > 0$，令 $t = \frac{\sin x}{2}$，则 $t \in (0, \frac12]$。原不等式化为：对 $t \in (0, \frac12]$ 证明 $0 < \frac{1}{\ln(1+t)} - \frac{1}{t} < 1$。
公式：$t = \frac{\sin x}{2}$，$\frac{2}{\sin x} = \frac{1}{t}$
提示：注意 $\sin x$ 在 $(0,\pi)$ 上为正，代换后 $t$ 的范围是 $(0, \frac12]$，不要遗漏端点。
步骤 2/5
目标：证明左边不等式 $0 < \frac{1}{\ln(1+t)} - \frac{1}{t}$
左边大于 $0$ 等价于 $\frac{1}{\ln(1+t)} > \frac{1}{t}$，即 $t > \ln(1+t)$。这是常见不等式：对任意 $t>0$，有 $\ln(1+t) < t$，因此左边成立。
公式：$\ln(1+t) < t \quad (t>0)$
提示：注意不等式方向：由 $t > \ln(1+t)$ 取倒数得 $\frac{1}{\ln(1+t)} > \frac{1}{t}$，因为两边均为正。
步骤 3/5
目标：转化右边不等式 $\frac{1}{\ln(1+t)} - \frac{1}{t} < 1$
右边不等式等价于 $\frac{1}{\ln(1+t)} < 1 + \frac{1}{t} = \frac{t+1}{t}$。两边取倒数（正数）得 $\ln(1+t) > \frac{t}{t+1}$。因此只需证明 $\ln(1+t) > \frac{t}{t+1}$ 对 $t \in (0, \frac12]$ 成立。
公式：$\frac{1}{\ln(1+t)} < \frac{t+1}{t} \iff \ln(1+t) > \frac{t}{t+1}$
提示：取倒数时注意不等号方向反转，且需确保两边为正。
步骤 4/5
目标：构造函数证明 $\ln(1+t) > \frac{t}{t+1}$
令 $g(t) = \ln(1+t) - \frac{t}{t+1}$，$t>0$。求导得 $g'(t) = \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(t+1)^2} = \frac{t}{(1+t)^2} > 0$，故 $g(t)$ 严格递增。又 $g(0)=0$，所以对任意 $t>0$ 有 $g(t)>0$，即 $\ln(1+t) > \frac{t}{t+1}$。特别地，对 $t \in (0, \frac12]$ 成立。
公式：$g(t)=\ln(1+t)-\frac{t}{t+1}$，$g'(t)=\frac{t}{(1+t)^2}>0$
提示：注意 $g(0)$ 需用极限理解：$\lim_{t\to 0^+} g(t)=0$，严格递增保证 $t>0$ 时 $g(t)>0$。
步骤 5/5
目标：代回原变量，得出结论
由 $t = \frac{\sin x}{2}$，且 $x \in (0,\pi)$ 时 $t \in (0,\frac12]$，已证 $0 < \frac{1}{\ln(1+t)} - \frac{1}{t} < 1$，即 $0 < \frac{1}{\ln\left(1+\frac{\sin x}{2}\right)} - \frac{2}{\sin x} < 1$。
公式：原不等式成立
提示：代换回原变量时注意 $\frac{1}{t} = \frac{2}{\sin x}$，不要写错。
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