苏州大学 2023年数学分析第6题
📝 题目
6．（15 分）设 $\displaystyle \alpha$ 为实数，讨论 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上的一致连续性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：回顾一致连续的定义
函数 \( f \) 在区间 \( I \) 上一致连续，是指：对于任意给定的 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( \delta > 0 \)，使得对任意 \( x_1, x_2 \in I \)，只要 \( |x_1 - x_2| < \delta \)，就有 \( |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon \)。这里 \( \delta \) 只依赖于 \( \varepsilon \)，而不依赖于具体的点。
公式：\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x_1, x_2 \in I, \ |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon
提示：注意一致连续与逐点连续的区别：逐点连续的 \(\delta\) 可以依赖于点 \(x\)，而一致连续的 \(\delta\) 必须对区间内所有点都适用。
步骤 2/7
目标：分析幂函数在无穷区间上的性质
对于 \( f(x) = x^\alpha \) 在 \((1, +\infty)\) 上：
- 若 \(\alpha > 0\)，函数单调递增，导数 \(\alpha x^{\alpha-1}\) 在 \(x \to +\infty\) 时，若 \(\alpha > 1\) 则趋于无穷，变化剧烈；若 \(0 < \alpha \le 1\) 则导数趋于0或常数，变化平缓。
- 若 \(\alpha = 0\)，函数为常数1，显然一致连续。
- 若 \(\alpha < 0\)，函数单调递减趋于0，导数绝对值 \(|\alpha| x^{\alpha-1}\) 在 \(x \ge 1\) 上有界，变化平缓。
公式：f'(x) = \alpha x^{\alpha-1}
提示：导数是否有界是判断一致连续性的重要线索，但并非充分条件，需要严格证明或构造反例。
步骤 3/7
目标：讨论情况1：α = 0
当 \(\alpha = 0\) 时，\(f(x) = 1\) 是常值函数。对任意 \(\varepsilon > 0\)，取任意 \(\delta > 0\)（例如 \(\delta = 1\)），当 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 时，恒有 \(|f(x_1) - f(x_2)| = 0 < \varepsilon\)。因此一致连续。
公式：f(x) = 1
提示：常值函数在任何区间上都是一致连续的。
步骤 4/7
目标：讨论情况2：0 < α ≤ 1
利用不等式：对任意 \(a, b > 0\) 和 \(0 < \alpha \le 1\)，有 \(|a^\alpha - b^\alpha| \le |a - b|^\alpha\)（可由函数 \(t^\alpha\) 的凹性证明）。给定 \(\varepsilon > 0\)，取 \(\delta = \varepsilon^{1/\alpha}\)，则当 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 时，\(|f(x_1) - f(x_2)| \le |x_1 - x_2|^\alpha < \delta^\alpha = \varepsilon\)。因此一致连续。
公式：|x_1^\alpha - x_2^\alpha| \le |x_1 - x_2|^\alpha
提示：该不等式是处理幂函数在 \(0<\alpha\le1\) 时一致连续性的关键工具。
步骤 5/7
目标：讨论情况3：α > 1（构造反例证明不一致连续）
取 \(x_n = n\)，\(y_n = n + \frac{1}{n^{\alpha-1}}\)，则 \(|x_n - y_n| = \frac{1}{n^{\alpha-1}} \to 0\)（因为 \(\alpha > 1\)）。由拉格朗日中值定理，存在 \(\xi_n \in (n, n + n^{-(\alpha-1)})\)，使得
\[ f(y_n) - f(x_n) = \alpha \xi_n^{\alpha-1} \cdot \frac{1}{n^{\alpha-1}} > \alpha n^{\alpha-1} \cdot \frac{1}{n^{\alpha-1}} = \alpha. \]
因此，取 \(\varepsilon = \alpha/2 > 0\)，无论 \(\delta\) 多小，总存在 \(n\) 足够大使得 \(|x_n - y_n| < \delta\)，但 \(|f(x_n) - f(y_n)| > \alpha > \varepsilon\)，故不一致连续。
公式：f(y_n) - f(x_n) = \alpha \xi_n^{\alpha-1} \cdot \frac{1}{n^{\alpha-1}} > \alpha
提示：构造反例时，两点距离要趋于0，但函数值差要保持有正下界。这里取 \(y_n - x_n = 1/n^{\alpha-1}\) 是关键。
步骤 6/7
目标：讨论情况4：α < 0
令 \(\beta = -\alpha > 0\)，则 \(f(x) = x^{-\beta} = 1/x^\beta\)。对任意 \(x_1, x_2 \ge 1\)，由拉格朗日中值定理，存在 \(\xi\) 介于 \(x_1, x_2\) 之间，使得
\[ |f(x_1) - f(x_2)| = |f'(\xi)| \cdot |x_1 - x_2| = \frac{\beta}{\xi^{\beta+1}} |x_1 - x_2| \le \beta |x_1 - x_2|, \]
因为 \(\xi \ge 1\)。给定 \(\varepsilon > 0\)，取 \(\delta = \varepsilon/\beta\)，则当 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 时，\(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)。因此一致连续。
公式：|f(x_1) - f(x_2)| \le \beta |x_1 - x_2|
提示：导数在区间上有界（这里上界为 \(\beta\)）是函数满足利普希茨条件的充分条件，从而一致连续。
步骤 7/7
目标：总结结论
综合以上讨论：
- 当 \(\alpha \le 1\) 时（包括 \(\alpha = 0\)、\(0 < \alpha \le 1\) 和 \(\alpha < 0\)），函数 \(f(x) = x^\alpha\) 在 \((1, +\infty)\) 上一致连续。
- 当 \(\alpha > 1\) 时，函数不一致连续。
提示：注意 \(\alpha = 1\) 时，\(f(x) = x\)，满足 \(|x_1 - x_2|\) 直接控制，属于 \(\alpha \le 1\) 的情况，一致连续。
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