苏州大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、设 $\displaystyle I(x)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x y^{2}} \sin x \mathrm{~d} y,(x \geq 0)$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} I(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简 I(x) 表达式
由于 $\sin x$ 与积分变量 $y$ 无关，可提出积分号外：
$$I(x) = \sin x \int_0^{+\infty} e^{-x y^2} \, \mathrm{d}y.$$
公式：$$I(x)=\sin x \int_0^{+\infty} e^{-x y^2} \, \mathrm{d}y$$
提示：注意 $\sin x$ 是常数因子，不要遗漏。
步骤 2/6
目标：计算 Gauss 积分
对于 $x>0$，令 $t = \sqrt{x}\,y$，则 $\mathrm{d}y = \mathrm{d}t / \sqrt{x}$，积分限不变：
$$\int_0^{+\infty} e^{-x y^2} \, \mathrm{d}y = \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$
公式：$$\int_0^{+\infty} e^{-x y^2} \, \mathrm{d}y = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}$$
提示：Gauss 积分 $\int_0^\infty e^{-t^2} \, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 是常用结果。
步骤 3/6
目标：得到 I(x) 的显式表达式
代入得：
$$I(x) = \sin x \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}, \quad x>0.$$
对于 $x=0$，原积分发散，但瑕点不影响积分值。
公式：$$I(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\sin x}{\sqrt{x}}$$
提示：端点 $x=0$ 处 $I(x)$ 无定义，但瑕积分收敛，可忽略。
步骤 4/6
目标：将所求积分转化为标准形式
所求积分为：
$$\int_0^{+\infty} I(x) \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x.$$
公式：$$\int_0^{+\infty} I(x) \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \int_0^{+\infty} x^{-1/2} \sin x \, \mathrm{d}x$$
提示：注意 $\frac{\sin x}{\sqrt{x}}$ 在 $x=0$ 处可去奇点，积分收敛。
步骤 5/6
目标：利用 Gamma 函数公式计算积分
使用公式 $\int_0^\infty x^{p-1} \sin(ax) \, dx = \frac{\Gamma(p)}{a^p} \sin\left(\frac{p\pi}{2}\right)$，其中 $0
公式：$$\int_0^\infty x^{-1/2} \sin x \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$$
提示：Gamma 函数 $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$，$\sin(\pi/4)=\sqrt{2}/2$。
步骤 6/6
目标：计算最终结果
将上一步结果代入：
$$\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}.$$
公式：$$\int_0^{+\infty} I(x) \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$$
提示：化简时注意 $\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} = \pi$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。