西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．用＂$\varepsilon-\delta$＂语言叙述函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续的定义，并证明：$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 上连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：用ε-δ语言叙述函数在一点连续的定义
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。如果对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，都存在一个 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x: |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$
提示：注意定义中 $\delta$ 依赖于 $\varepsilon$ 和 $x_0$，且要求 $x$ 在 $x_0$ 的邻域内函数有定义。
步骤 2/7
目标：确定要证明的目标：对任意 $x_0 \in (0,1)$ 证明连续性
取任意 $x_0 \in (0,1)$，我们需要用 $\varepsilon-\delta$ 语言证明 $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin x_0}{x_0}$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in (0,1): |x - x_0| < \delta \Rightarrow \left| \frac{\sin x}{x} - \frac{\sin x_0}{x_0} \right| < \varepsilon$
提示：由于 $x_0$ 是任意取的，证明需对一般 $x_0$ 成立，不能假设特殊值。
步骤 3/7
目标：对差值进行恒等变形并放缩
计算差值：
$$
\left| \frac{\sin x}{x} - \frac{\sin x_0}{x_0} \right| = \left| \frac{x_0 \sin x - x \sin x_0}{x x_0} \right|.
$$
将分子改写为：
$$
x_0 \sin x - x \sin x_0 = x_0(\sin x - \sin x_0) + \sin x_0 (x_0 - x).
$$
于是：
$$
\left| \frac{\sin x}{x} - \frac{\sin x_0}{x_0} \right| \leq \frac{|x_0| |\sin x - \sin x_0| + |\sin x_0| |x_0 - x|}{|x x_0|}.
$$
公式：$\left| \frac{\sin x}{x} - \frac{\sin x_0}{x_0} \right| \leq \frac{x_0 |\sin x - \sin x_0| + |x - x_0|}{x x_0}$
提示：注意 $x, x_0 > 0$，绝对值可直接去掉，但分母 $x x_0$ 可能很小，需后续控制。
步骤 4/7
目标：限制 $x$ 的范围以避免分母过小
取 $\delta_1 = \frac{x_0}{2}$，则当 $|x - x_0| < \delta_1$ 时，有 $x > x_0 - \frac{x_0}{2} = \frac{x_0}{2} > 0$，从而分母满足：
$$
x x_0 \geq \frac{x_0}{2} \cdot x_0 = \frac{x_0^2}{2}.
$$
公式：$x > \frac{x_0}{2} \Rightarrow x x_0 \geq \frac{x_0^2}{2}$
提示：这一步是关键的放缩技巧，防止分母趋于0导致不等式失效。
步骤 5/7
目标：利用三角不等式和常见不等式进一步放缩
已知 $|\sin x_0| \leq 1$，且 $|\sin x - \sin x_0| \leq |x - x_0|$（由拉格朗日中值定理或和差化积可得）。代入得：
$$
|f(x)-f(x_0)| \leq \frac{x_0 |x - x_0| + 1 \cdot |x - x_0|}{\frac{x_0^2}{2}} = \frac{2(x_0+1)}{x_0^2} |x - x_0|.
$$
公式：$|f(x)-f(x_0)| \leq \frac{2(x_0+1)}{x_0^2} |x - x_0|$
提示：这里 $|\sin x - \sin x_0| \leq |x - x_0|$ 是常用结论，注意不要忘记证明或说明。
步骤 6/7
目标：选择 $\delta$ 完成 $\varepsilon-\delta$ 证明
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，取
$$
\delta = \min\left\{ \frac{x_0}{2},\ \frac{x_0^2}{2(x_0+1)} \varepsilon \right\}.
$$
则当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有
$$
|f(x)-f(x_0)| < \frac{2(x_0+1)}{x_0^2} \cdot \frac{x_0^2}{2(x_0+1)} \varepsilon = \varepsilon.
$$
因此 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上连续。
公式：$\delta = \min\left\{ \frac{x_0}{2},\ \frac{x_0^2}{2(x_0+1)} \varepsilon \right\}$
提示：注意 $\delta$ 必须取两个条件的最小值，以保证前面的放缩都成立。
步骤 7/7
目标：总结结论
由 $\varepsilon-\delta$ 定义，我们已经证明了对任意 $x_0 \in (0,1)$，$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x_0$ 处连续，故函数在 $(0,1)$ 上连续。
提示：也可以利用连续函数的四则运算法则直接说明，但题目要求用 $\varepsilon-\delta$ 语言证明。
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