西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．计算 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入对称变量代换
令 $t = \frac{\pi}{2} - x$，则当 $x = 0$ 时，$t = \frac{\pi}{2}$；当 $x = \frac{\pi}{2}$ 时，$t = 0$。同时 $\mathrm{d}x = -\mathrm{d}t$，且三角函数变换为：$\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \cos t$，$\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \sin t$。
公式：$t = \frac{\pi}{2} - x$，$\mathrm{d}x = -\mathrm{d}t$，$\sin x = \cos t$，$\cos x = \sin t$
提示：注意代换后积分上下限会交换，需要正确处理负号。
步骤 2/5
目标：将原积分用新变量表示
原积分 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d}x$ 变为 $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin t}{\cos t + \sin t} (-\mathrm{d}t)$，交换上下限后负号消失，得到 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{\sin t + \cos t} \mathrm{d}t$。
公式：$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{\sin t + \cos t} \mathrm{d}t$
提示：交换积分上下限时，$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = -\int_b^a f(x)\mathrm{d}x$，这里负号与 $\mathrm{d}x$ 的负号抵消。
步骤 3/5
目标：将变量名统一为 x
由于积分变量是哑变量，可以将 $t$ 换回 $x$，得到 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d}x$。
公式：$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d}x$
提示：这一步只是符号替换，不改变积分值。
步骤 4/5
目标：将两个表达式相加
现在有 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d}x$ 和 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d}x$，两式相加得 $2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + \sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \mathrm{d}x$。
公式：$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \mathrm{d}x$
提示：分子分母完全相同（均不为零），因此被积函数简化为1。
步骤 5/5
目标：计算简单积分并求解 I
计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \mathrm{d}x = \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$，所以 $2I = \frac{\pi}{2}$，解得 $I = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}$，$I = \frac{\pi}{4}$
提示：最终结果是一个简洁的有理数乘以 $\pi$，常见于对称型积分。
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