西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
3．计算下列极限：
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析第（1）题的结构，确定使用夹逼准则
对于第（1）题，求和项为 $\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$，其中 $k=1,2,\dots,n$。由于分母 $\sqrt{n^2+k}$ 随 $k$ 增大而增大，因此每一项满足：$\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$。
公式：\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}
提示：注意不等号方向：分母越大，分数值越小。
步骤 2/6
目标：对第（1）题应用夹逼准则，计算上下界极限
设 $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$，则 $n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le S_n \le n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$。计算左端极限：$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+1/n}} = 1$；右端极限：$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+1/n^2}} = 1$。由夹逼准则，$\lim_{n\to\infty} S_n = 1$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = 1, \quad \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = 1
提示：夹逼准则要求上下界极限相等，此处均为1。
步骤 3/6
目标：分析第（2）题的结构，转化为黎曼和
第（2）题求和项为 $\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}$，提取因子 $n$：$\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}} = \frac{1}{n\sqrt{1+(k/n)^2}}$。于是 $S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1+(k/n)^2}}$。当 $n\to\infty$，这是函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和（取右端点）。
公式：S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1+(k/n)^2}}
提示：注意分母中 $k^2$ 与 $n^2$ 的关系，提取 $n$ 后形成标准黎曼和形式。
步骤 4/6
目标：计算第（2）题对应的定积分
极限等于定积分 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, dx$。计算该积分：令 $x = \tan\theta$，则 $dx = \sec^2\theta \, d\theta$，$\sqrt{1+x^2} = \sec\theta$，积分变为 $\int_0^{\pi/4} \frac{\sec^2\theta}{\sec\theta} \, d\theta = \int_0^{\pi/4} \sec\theta \, d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| \big|_0^{\pi/4} = \ln(\sqrt{2}+1) - \ln(1) = \ln(1+\sqrt{2})$。
公式：\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, dx = \ln(1+\sqrt{2})
提示：也可直接使用公式 $\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \ln(x+\sqrt{1+x^2})+C$。
步骤 5/6
目标：分析第（3）题，识别为1^∞型未定式
第（3）题极限 $\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^x$ 是 $1^\infty$ 型未定式。常用方法：取自然对数后求极限。设 $L = \lim_{x\to\infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^x$，则 $\ln L = \lim_{x\to\infty} x \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$。
公式：\ln L = \lim_{x\to\infty} x \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)
提示：1^∞型未定式通常通过取对数转化为0·∞型。
步骤 6/6
目标：计算第（3）题的对数极限
化简分式：$\frac{x-1}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$。当 $x\to\infty$ 时，$\ln\left(1 - \frac{2}{x+1}\right) \sim -\frac{2}{x+1}$。更精确地：$x \ln\left(1 - \frac{2}{x+1}\right) = x \left(-\frac{2}{x+1} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) = -\frac{2x}{x+1} + o(1) \to -2$。因此 $\ln L = -2$，$L = e^{-2}$。
公式：\lim_{x\to\infty} x \ln\left(1 - \frac{2}{x+1}\right) = -2
提示：也可用洛必达法则或重要极限 $\lim_{t\to 0} (1+t)^{1/t} = e$ 求解。
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