西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．证明：函数列 $f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定极限函数
对每个固定的 $x \in [0,1]$，考虑 $n \to \infty$ 时 $f_n(x)$ 的极限。若 $x=0$，则 $f_n(0)=0$，极限为 $0$；若 $x>0$，则 $f_n(x)=\frac{x}{1+nx} \sim \frac{x}{nx}=\frac{1}{n} \to 0$。因此逐点极限函数为 $f(x)=0$，$\forall x \in [0,1]$。
公式：$f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$
提示：注意区分 $x=0$ 和 $x>0$ 的情况，但最终极限相同。
步骤 2/4
目标：建立一致收敛的判别准则
要证明 $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $f(x)$，需证明 $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)| \to 0$（$n\to\infty$）。这里 $|f_n(x)-f(x)| = \frac{x}{1+nx}$。
公式：$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)| = \sup_{x\in[0,1]}\frac{x}{1+nx}$
提示：一致收敛要求上确界趋于0，而非仅逐点趋于0。
步骤 3/4
目标：求函数 $g_n(x)=\frac{x}{1+nx}$ 在 $[0,1]$ 上的最大值
令 $g_n(x)=\frac{x}{1+nx}$，$x\in[0,1]$。求导得 $g_n'(x)=\frac{1\cdot(1+nx)-x\cdot n}{(1+nx)^2}=\frac{1}{(1+nx)^2}>0$，故 $g_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。最大值在右端点 $x=1$ 处取得：$g_n(1)=\frac{1}{1+n}$。
公式：$g_n'(x)=\frac{1}{(1+nx)^2}>0$，$\max_{x\in[0,1]}g_n(x)=g_n(1)=\frac{1}{1+n}$
提示：导数恒正说明函数严格单调递增，最大值在区间端点。
步骤 4/4
目标：计算上确界并证明一致收敛
于是 $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0| = \frac{1}{1+n}$。当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{1+n}\to 0$。由一致收敛的定义，函数列 $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$。
公式：$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)| = \frac{1}{1+n} \to 0$
提示：注意上确界等于最大值，因为函数连续且区间闭。
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