西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上收敛，但不一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造具体的函数项级数并明确其形式
考虑函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$，其中 $f_n(x) = x^n - x^{n+1}$，$x \in [0,1]$。这是一个经典例子，用于展示逐点收敛但不一致收敛。
公式：f_n(x) = x^n - x^{n+1}
提示：注意 $f_n(x)$ 可以写成 $x^n(1-x)$，但这里用差的形式更容易求部分和。
步骤 2/6
目标：求部分和函数 $S_N(x)$
计算前 $N$ 项部分和：
\[
S_N(x) = \sum_{n=1}^{N} (x^n - x^{n+1}) = (x - x^2) + (x^2 - x^3) + \cdots + (x^N - x^{N+1}) = x - x^{N+1}.
\]
这是因为中间项全部抵消。
公式：S_N(x) = x - x^{N+1}
提示：裂项相消是求和的关键，注意首项和末项。
步骤 3/6
目标：证明逐点收敛，求出和函数 $S(x)$
对每个固定的 $x \in [0,1]$，求极限 $\lim_{N\to\infty} S_N(x)$：
- 若 $0 \le x < 1$，则 $x^{N+1} \to 0$，故 $S_N(x) \to x$。
- 若 $x = 1$，则 $S_N(1) = 1 - 1^{N+1} = 0$，故 $S_N(1) \to 0$。
因此和函数为
\[
S(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1, \\ 0, & x = 1. \end{cases}
\]
级数在 $[0,1]$ 上逐点收敛。
公式：S(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1, \\ 0, & x = 1 \end{cases}
提示：注意 $x=1$ 时每一项都是0，所以和函数在端点处不连续。
步骤 4/6
目标：分析不一致收敛的条件
要证明不一致收敛，需验证 $\lim_{N\to\infty} \sup_{x\in[0,1]} |S_N(x) - S(x)| \neq 0$。计算差值的绝对值：
\[
|S_N(x) - S(x)| = \begin{cases} x^{N+1}, & 0 \le x < 1, \\ 0, & x = 1. \end{cases}
\]
因此 $\sup_{x\in[0,1]} |S_N(x) - S(x)| = \sup_{x\in[0,1)} x^{N+1}$。
公式：|S_N(x) - S(x)| = x^{N+1} \quad (0 \le x < 1)
提示：上确界在 $x$ 接近1时取得，不能直接代入 $x=1$ 因为该点差为0。
步骤 5/6
目标：计算上确界并证明其不趋于0
函数 $x^{N+1}$ 在 $[0,1)$ 上单调递增，上确界在 $x \to 1^-$ 时趋近于1，但无法取到。为严格证明，取点列 $x_N = 1 - \frac{1}{N+1}$，则
\[
x_N^{N+1} = \left(1 - \frac{1}{N+1}\right)^{N+1} \to \frac{1}{e} \quad (N\to\infty).
\]
因此
\[
\sup_{x\in[0,1]} |S_N(x) - S(x)| \ge \left(1 - \frac{1}{N+1}\right)^{N+1} \to \frac{1}{e} > 0,
\]
故上确界不趋于0，级数不一致收敛。
公式：\left(1 - \frac{1}{N+1}\right)^{N+1} \to \frac{1}{e}
提示：常用极限 $\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n = e$ 的变形，注意此处指数与分母匹配。
步骤 6/6
目标：总结结论
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (x^n - x^{n+1})$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛到 $S(x)$，但由于 $\sup_{x\in[0,1]}|S_N(x)-S(x)|$ 不趋于0，故不一致收敛。
公式：\lim_{N\to\infty} \sup_{x\in[0,1]} |S_N(x)-S(x)| \geq \frac{1}{e} > 0
提示：不一致收敛的根本原因是和函数在 $x=1$ 处不连续，而每个部分和连续，由一致收敛保持连续性可知必然不一致收敛。
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