西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
3．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确证明所需的条件
题目未给出具体的函数 $f_n(x)$，因此需要补充合理的条件。我们假设：对于每个固定的 $x \in [0,1]$，数列 $\{f_n(x)\}$ 关于 $n$ 单调递减且趋于 $0$，并且这个趋于 $0$ 的过程关于 $x$ 是一致的，即 $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$，且对每个 $x$，有 $f_n(x) \ge f_{n+1}(x) \ge 0$。
公式：f_n(x) \ge f_{n+1}(x) \ge 0, \quad \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \text{ 关于 } x \text{ 一致}
提示：注意：单调递减和一致趋于0是使用Leibniz型一致收敛判别法的关键条件，缺少任何一个都会导致证明不成立。
步骤 2/5
目标：写出部分和并应用Leibniz判别法
考虑部分和 $S_n(x) = \sum_{k=1}^n (-1)^k f_k(x)$。对于每个固定的 $x$，由于 $f_n(x)$ 单调递减趋于0，由Leibniz判别法知级数收敛，且余项 $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^\infty (-1)^k f_k(x)$ 满足估计：$|R_n(x)| \le f_{n+1}(x)$。这是因为交错级数余项的绝对值不超过其第一被舍去项的绝对值。
公式：|R_n(x)| = \left| \sum_{k=n+1}^\infty (-1)^k f_k(x) \right| \le f_{n+1}(x)
提示：Leibniz判别法的余项估计只适用于单调递减到0的正项数列，注意$f_n(x)$非负且递减。
步骤 3/5
目标：利用一致收敛性控制余项
由条件，$f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于0，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n \ge N$ 时，对所有 $x \in [0,1]$ 有 $f_{n+1}(x) < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n \ge N, \forall x \in [0,1]: f_{n+1}(x) < \varepsilon
提示：一致收敛意味着$N$的选取与$x$无关，这是证明一致收敛的关键。
步骤 4/5
目标：推导余项一致趋于0
结合余项估计和一致收敛条件，对于任意 $\varepsilon > 0$，取上述 $N$，则当 $n \ge N$ 时，对所有 $x \in [0,1]$ 有 $|R_n(x)| \le f_{n+1}(x) < \varepsilon$。这表明余项 $R_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致趋于0。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n \ge N, \forall x \in [0,1]: |R_n(x)| < \varepsilon
提示：这里$|R_n(x)|$的上界$f_{n+1}(x)$与$x$无关地小于$\varepsilon$，因此是一致收敛。
步骤 5/5
目标：得出结论
由函数项级数一致收敛的定义（部分和函数列一致收敛于和函数），余项一致趋于0等价于级数一致收敛。因此，在给定条件下，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n f_n(x) \text{ 在 } [0,1] \text{ 上一致收敛}
提示：注意：如果$f_n(x)$不满足单调递减或一致趋于0，则结论不一定成立，例如$f_n(x)=1/n$在$[0,1]$上不一致趋于0。
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