西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
七．已知函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=(1-x) x^{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定逐点极限函数
对于固定的 $x \in [0,1]$，考虑 $n \to \infty$ 时 $f_n(x) = (1-x)x^n$ 的极限。
- 若 $x = 1$，则 $f_n(1) = (1-1)\cdot 1^n = 0$。
- 若 $0 \le x < 1$，则 $x^n \to 0$，故 $f_n(x) \to 0$。
- 若 $x = 0$，则 $f_n(0) = (1-0)\cdot 0^n = 0$。
因此，对任意 $x \in [0,1]$，$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0$，即逐点极限函数为 $f(x)=0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0, \quad \forall x \in [0,1]$
提示：注意 $x=1$ 时 $x^n$ 不趋于0，但因子 $(1-x)$ 为0，因此极限仍为0，不要遗漏边界点。
步骤 2/5
目标：建立一致收敛的判别准则
要判断 $f_n$ 在 $[0,1]$ 上是否一致收敛到 $0$，需计算 $\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-0| = \sup_{x\in[0,1]} (1-x)x^n$，并考察该上确界是否趋于 $0$。
公式：$\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x\in[0,1]} (1-x)x^n$
提示：一致收敛要求上确界趋于0，而非仅逐点趋于0。
步骤 3/5
目标：求函数 $g(x)=(1-x)x^n$ 在 $[0,1]$ 上的最大值
令 $g(x) = (1-x)x^n$，求导得 $g'(x) = -x^n + n(1-x)x^{n-1} = x^{n-1}(n - (n+1)x)$。
令 $g'(x)=0$，得临界点 $x=0$ 或 $x = \frac{n}{n+1}$。
在区间内部，最大值出现在 $x = \frac{n}{n+1}$，此时
$$g\left(\frac{n}{n+1}\right) = \left(1-\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n.$$
公式：$g_{\max} = \frac{1}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$
提示：注意 $x=0$ 和 $x=1$ 处函数值为0，内部临界点才是最大值点。
步骤 4/5
目标：估计最大值并判断一致收敛性
利用重要极限 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$，有
$$\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \to \frac{1}{e}.$$
因此
$$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0| = \frac{1}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n \sim \frac{1}{e(n+1)} \to 0 \quad (n\to\infty).$$
故上确界趋于0，函数列在 $[0,1]$ 上一致收敛到零函数。
公式：$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0| = \frac{1}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n \to 0$
提示：不要忽略 $\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$ 的极限是 $1/e$，这是关键估计。
步骤 5/5
目标：总结结论
函数列 $f_n(x)=(1-x)x^n$ 在区间 $[0,1]$ 上逐点收敛到 $0$，且一致收敛到零函数。
公式：一致收敛成立
提示：一致收敛性保证了极限函数的连续性等性质，这里极限函数 $0$ 是连续的，与逐点收敛结果一致。
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