西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，证明：$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确一致连续的定义
函数 \( f(x) \) 在区间 \( I \) 上一致连续，是指：
\[ \forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x_1, x_2 \in I, \ |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon. \]
关键在于这个 \(\delta\) 只依赖于 \(\varepsilon\)，而不依赖于具体点的位置。
公式：\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x_1, x_2 \in I, \ |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon
提示：一致连续与普通连续的区别在于δ是否依赖于点的位置，这里需要特别注意δ的全局性。
步骤 2/5
目标：利用极限存在条件处理无穷远处
已知 \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\)（存在有限极限）。由极限定义：
对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(M > a\)，使得当 \(x > M\) 时，
\[ |f(x) - L| < \frac{\varepsilon}{2}. \]
那么对于任意 \(x_1, x_2 > M\)，有
\[ |f(x_1) - f(x_2)| \le |f(x_1)-L| + |L - f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
这说明在区间 \([M, +\infty)\) 上，函数值变化可以任意小，实际上已经一致连续。
公式：|f(x_1) - f(x_2)| \le |f(x_1)-L| + |L - f(x_2)| < \varepsilon
提示：这里取ε/2是为了后续三角不等式放缩，注意极限定义中M的存在性依赖于ε。
步骤 3/5
目标：处理有限区间部分
在闭区间 \([a, M+1]\) 上，\(f(x)\) 连续，由 Cantor 定理（闭区间上连续函数必一致连续），存在 \(\delta_1 > 0\)，使得对该区间内任意两点，只要距离小于 \(\delta_1\)，函数值差就小于 \(\varepsilon\)。
公式：\exists \delta_1 > 0, \ \forall x_1, x_2 \in [a, M+1], \ |x_1 - x_2| < \delta_1 \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon
提示：Cantor定理是证明一致连续的重要工具，注意这里区间取到M+1是为了覆盖可能的过渡区域。
步骤 4/5
目标：将两部分拼接起来并验证全局一致性
取 \(\delta = \min\{\delta_1, 1\}\)，然后考虑整个区间 \([a, +\infty)\) 上任意两点 \(x_1, x_2\) 满足 \(|x_1 - x_2| < \delta\)。
情况分析：
- 如果两点都在 \([a, M+1]\) 内，由闭区间一致连续保证成立。
- 如果两点都在 \([M, +\infty)\) 内，由第二步极限附近的估计保证成立。
- 如果一点在 \([a, M]\)，另一点在 \([M+1, +\infty)\)，则它们的距离至少为 1，但我们的 \(\delta \le 1\)，所以这种情况不可能出现，因为距离小于 \(\delta\) 就不可能跨过这个间隙。
- 唯一可能跨区间的情形是：一点在 \([a, M]\)，另一点在 \([M, M+1]\)，这其实已经包含在第一个情况（都在 \([a, M+1]\)）中。
因此，对所有可能情形，只要 \(|x_1 - x_2| < \delta\)，就有 \(|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\)。
公式：\delta = \min\{\delta_1, 1\}
提示：取δ为δ₁和1的最小值是为了避免两点跨越M和M+1之间的间隙，这是拼接证明的关键技巧。
步骤 5/5
目标：得出结论
由一致连续的定义，我们证明了 \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上一致连续。
公式：\text{证毕}
提示：注意整个证明中ε是任意给定的正数，我们构造的δ只依赖于ε，不依赖于x的位置，因此满足一致连续的定义。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。