西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．讨论 $f(x)=\sin x^{\alpha}(\alpha>0)$ 在 $(0,1)$ 上的一致连续性．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确一致连续的定义与常用结论
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。一个重要的定理是：若函数在闭区间上连续，则它一定在该闭区间上一致连续（Cantor定理）。但这里区间是开区间 $(0,1)$，所以需要考察在端点附近是否会出现问题。通常，如果函数在开区间连续，且在端点处有极限（即可以连续延拓到闭区间），那么它在开区间上也是一致连续的。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall x_1,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意开区间与闭区间一致连续性的区别，Cantor定理只适用于闭区间。
步骤 2/5
目标：分析函数在 $x\to 0^+$ 时的行为
当 $x \to 0^+$ 时，$x^\alpha \to 0$（因为 $\alpha>0$），于是 $\sin(x^\alpha) \sim x^\alpha \to 0$，所以极限存在且为0。因此，定义延拓函数 $F(x) = \begin{cases} \sin(x^\alpha), & x\in (0,1] \\ 0, & x=0 \end{cases}$，则 $F(x)$ 在 $x=0$ 处连续。在 $x=1$ 处，函数值为 $\sin 1$，显然也是连续的。因此 $F(x)$ 在整个闭区间 $[0,1]$ 上连续。
公式：$\lim_{x\to 0^+} \sin(x^\alpha) = 0$
提示：延拓时需验证端点极限存在且等于函数值，这是连续延拓的关键。
步骤 3/5
目标：应用Cantor定理得到一致连续性
由Cantor定理，$F(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上一致连续。由于 $(0,1) \subset [0,1]$，一致连续性在子区间上保持，因此 $f(x)=\sin(x^\alpha)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续。
公式：Cantor定理：闭区间上的连续函数必一致连续
提示：一致连续性是区间上的整体性质，子区间继承父区间的一致连续性。
步骤 4/5
目标：检查导数无界是否影响一致连续性
导数 $f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \cos(x^\alpha)$，当 $\alpha<1$ 时，$\alpha-1<0$，导数在 $x\to 0^+$ 时趋于无穷大。但导数无界并不直接破坏一致连续性，因为函数值本身趋于0且变化单调，可以通过定义验证一致连续性。实际上，延拓到闭区间的方法已经严格证明了结论。
公式：$f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \cos(x^\alpha)$
提示：导数无界可能暗示不一致连续，但并非充分条件，需结合函数具体性质判断。
步骤 5/5
目标：总结答案
无论 $\alpha>0$ 取何值，函数 $f(x)=\sin(x^\alpha)$ 都可以连续延拓到闭区间 $[0,1]$，从而在 $(0,1)$ 上一致连续。
公式：结论：$f(x)=\sin(x^\alpha)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续
提示：本题的关键在于利用连续延拓和Cantor定理，避免直接使用定义证明的繁琐。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。