西北工业大学 2021年数学分析第0题

设函数 $f$ 在去心邻域 $U^{\circ}(x_0;\delta')$ 上有定义。要证明 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在的充要条件是：对于任意含于 $U^{\circ}(x_0;\delta')$ 且以 $x_0$ 为极限的数列 $\{x_n\}$，极限 $\lim_{n \to \infty} f(x_n)$ 都存在且相等。

假设 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。任取一个满足条件的数列 $\{x_n\}$（即 $x_n \in U^{\circ}(x_0;\delta')$ 且 $x_n \to x_0$）。对任意 $\varepsilon > 0$，由函数极限定义，存在 $\delta > 0$（可取 $\delta < \delta'$），使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。由于 $x_n \to x_0$ 且 $x_n \neq x_0$，对上述 $\delta$，存在 $N \in \mathbb{N}$，当 $n > N$ 时，有 $0 < |x_n - x_0| < \delta$，从而 $|f(x_n) - A| < \varepsilon$。因此 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$。由于数列是任意的，所有这样的数列极限都等于同一个 $A$。

假设对所有满足条件的数列 $\{x_n\}$，$\lim_{n \to \infty} f(x_n)$ 都存在且等于同一个值 $A$。用反证法证明 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。若不然，则存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，都存在 $x$ 满足 $0 < |x - x_0| < \delta$ 但 $|f(x) - A| \geq \varepsilon_0$。特别地，取 $\delta = 1/n$（$n$ 为正整数），且当 $n$ 足够大时 $1/n < \delta'$，于是存在点 $x_n$ 满足 $0 < |x_n - x_0| < 1/n$ 且 $|f(x_n) - A| \geq \varepsilon_0$。这样构造的数列 $\{x_n\}$ 显然含于 $U^{\circ}(x_0;\delta')$ 且 $x_n \to x_0$，但 $f(x_n)$ 不收敛到 $A$，与假设矛盾。因此假设不成立，必有 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

综合必要性和充分性，原命题得证：函数极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在的充要条件是，对于任意含于去心邻域 $U^{\circ}(x_0;\delta')$ 且以 $x_0$ 为极限的数列 $\{x_n\}$，极限 $\lim_{n \to \infty} f(x_n)$ 都存在且相等。