西北工业大学 2021年数学分析第0题

要判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否连续，需验证 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，令 $r=\sqrt{x^2+y^2}>0$，则 $f(x,y)=r^4\sin\frac{1}{r^2}$。由于 $|\sin\frac{1}{r^2}|\le 1$，有 $|f(x,y)|\le r^4$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $r\to0$，故 $r^4\to0$，由夹逼定理得极限为 $0$，等于函数值，因此函数在原点连续。

先求原点处的偏导数。由定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。当 $h\neq0$ 时，$f(h,0)=h^4\sin\frac{1}{h^2}$，所以 $\frac{f(h,0)}{h}=h^3\sin\frac{1}{h^2}$。由于 $|h^3\sin\frac{1}{h^2}|\le|h|^3\to0$，故 $f_x(0,0)=0$。由对称性，$f_y(0,0)=0$。

可微需验证 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。代入 $f(h,k)=(h^2+k^2)^2\sin\frac{1}{h^2+k^2}$ 及偏导为 $0$，得 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{(h^2+k^2)^2\sin\frac{1}{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}}$。令 $r=\sqrt{h^2+k^2}$，则表达式化为 $r^3\sin\frac{1}{r^2}$。由于 $|r^3\sin\frac{1}{r^2}|\le r^3\to0$，极限为 $0$，故函数在原点可微。

当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，令 $r^2=x^2+y^2$，则 $f(x,y)=r^4\sin\frac{1}{r^2}$。对 $x$ 求偏导：$f_x = \frac{\partial}{\partial x}\left(r^4\sin\frac{1}{r^2}\right) = 4r^3\cdot\frac{x}{r}\sin\frac{1}{r^2} + r^4\cos\frac{1}{r^2}\cdot\left(-\frac{2}{r^3}\right)\cdot\frac{x}{r} = 4xr^2\sin\frac{1}{r^2} - 2x\cos\frac{1}{r^2}$。即 $f_x(x,y)=4x(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2} - 2x\cos\frac{1}{x^2+y^2}$。由对称性，$f_y(x,y)=4y(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2} - 2y\cos\frac{1}{x^2+y^2}$。

需验证 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y) = f_x(0,0)=0$。由 $f_x$ 表达式，$|f_x(x,y)| \le 4|x|(x^2+y^2) + 2|x| \le 4r^3 + 2r$，其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $r\to0$，故 $4r^3+2r\to0$，由夹逼定理得 $f_x(x,y)\to0$。同理 $f_y(x,y)\to0$。因此偏导数在原点连续。