西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察积分形式并引入参数化方法
给定积分 $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \, dx$，其中 $b > a > 0$。注意到分子 $x^b - x^a$ 可以表示为 $\int_a^b x^y \, dy$，因为对 $y$ 积分 $x^y$ 得 $\frac{x^y}{\ln x}$，代入上下限即得差。因此有：
$$\frac{x^b - x^a}{\ln x} = \int_a^b x^y \, dy.$$
公式：$$\frac{x^b - x^a}{\ln x} = \int_a^b x^y \, dy$$
提示：注意此恒等式成立的条件是 $x > 0$ 且 $x \neq 1$，但在 $x=1$ 处可通过极限定义，不影响积分。
步骤 2/5
目标：交换积分次序
将原积分改写为二重积分并交换次序：
$$I = \int_0^1 \int_a^b x^y \, dy \, dx = \int_a^b \int_0^1 x^y \, dx \, dy.$$
由于被积函数 $x^y$ 在区域 $[0,1] \times [a,b]$ 上连续（$a>0$ 保证 $x=0$ 处无奇点），交换次序合法。
公式：$$I = \int_a^b \left( \int_0^1 x^y \, dx \right) dy$$
提示：交换积分次序前需确认积分区域为矩形且被积函数非负连续，此处满足条件。
步骤 3/5
目标：计算内层积分
计算内层积分 $\int_0^1 x^y \, dx$：
$$\int_0^1 x^y \, dx = \left[ \frac{x^{y+1}}{y+1} \right]_0^1 = \frac{1}{y+1},$$
其中 $y > -1$，由 $a > 0$ 知 $y \ge a > 0 > -1$，条件成立。
公式：$$\int_0^1 x^y \, dx = \frac{1}{y+1}$$
提示：注意 $y+1$ 在分母，需确保 $y \neq -1$，此处 $y \ge a > 0$ 安全。
步骤 4/5
目标：计算外层积分得到结果
将内层结果代入，计算外层积分：
$$I = \int_a^b \frac{1}{y+1} \, dy = \ln(y+1) \Big|_{y=a}^{y=b} = \ln(b+1) - \ln(a+1) = \ln\frac{b+1}{a+1}.$$
公式：$$I = \ln\frac{b+1}{a+1}$$
提示：对数运算时注意 $b+1 > a+1 > 0$，结果为正。
步骤 5/5
目标：验证结果
取特例 $a=1, b=2$，则原积分为 $\int_0^1 \frac{x^2 - x}{\ln x} \, dx$，由公式得 $\ln\frac{3}{2}$。可通过数值积分或已知结果验证其正确性。
公式：$$\int_0^1 \frac{x^2 - x}{\ln x} \, dx = \ln\frac{3}{2}$$
提示：特例验证是检查积分结果的有效方法，可借助数学软件近似计算。
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