西北工业大学 2021年数学分析第0题

题目给出两个曲面： 1. 圆锥面：$z = \sqrt{x^2 + y^2}$，开口向上，顶点在原点。 2. 旋转抛物面：$x^2 + y^2 = 2z$，即 $z = \frac{x^2 + y^2}{2}$，开口向上，顶点也在原点。 我们需要求这两个曲面所围成的封闭区域的体积。

联立两个方程：将 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 代入 $x^2 + y^2 = 2z$，得 $x^2 + y^2 = 2\sqrt{x^2 + y^2}$。令 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，则 $r^2 = 2r$，解得 $r = 0$ 或 $r = 2$。因此交线在 $r = 2$ 处，此时 $z = 2$，即两个曲面在高度 $z=2$ 处相交成一个半径为2的圆。

在柱坐标下，对于固定的 $r$（$0 \le r \le 2$），比较两个曲面的z值：圆锥面 $z = r$，抛物面 $z = \frac{r^2}{2}$。由于 $r \ge \frac{r^2}{2}$ 等价于 $r(2 - r) \ge 0$，在 $[0,2]$ 上成立，所以圆锥面在上，抛物面在下。因此z的积分下限为 $\frac{r^2}{2}$，上限为 $r$。

体积用三重积分表示为： $$ V = \iiint dV = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{2} \int_{z = r^2/2}^{r} r \, dz \, dr \, d\theta $$ 先对z积分：$\int_{z = r^2/2}^{r} dz = r - \frac{r^2}{2}$。 再对r积分：$\int_{0}^{2} \left( r - \frac{r^2}{2} \right) r \, dr = \int_{0}^{2} \left( r^2 - \frac{r^3}{2} \right) dr$。 计算得：$\int_0^2 r^2 dr = \frac{8}{3}$，$\int_0^2 \frac{r^3}{2} dr = 2$，所以r积分结果为 $\frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$。 最后对θ积分：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。 因此体积 $V = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$。