西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2} n}{n^{p}}$ 的收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简通项，拆分级数
利用三角恒等式 $\sin^2 n = \frac{1 - \cos(2n)}{2}$，将原级数改写为：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2 n}{n^p} = \frac12 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} - \frac12 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n)}{n^p}.$$
公式：$$\sin^2 n = \frac{1 - \cos(2n)}{2}$$
提示：注意恒等式的正确使用，拆分后要分别判断两个级数的收敛性。
步骤 2/5
目标：分析第一个级数（p-级数）的收敛性
第一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 是经典的 p-级数，其收敛当且仅当 $p > 1$。当 $p \leq 1$ 时发散。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ 收敛 } \iff p > 1$$
提示：p-级数是基本判别标准，注意边界 $p=1$ 时发散（调和级数）。
步骤 3/5
目标：分析第二个级数（三角级数）的收敛性
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n)}{n^p}$。对于 $p > 0$，系数 $\frac{1}{n^p}$ 单调递减趋于 0。部分和 $\sum_{k=1}^n \cos(2k)$ 有界，因为：
$$\sum_{k=1}^n \cos(2k) = \operatorname{Re}\left(\sum_{k=1}^n e^{2ik}\right) = \operatorname{Re}\left(\frac{e^{2i}(1-e^{2in})}{1-e^{2i}}\right),$$
其模有界。由狄利克雷判别法，当 $p > 0$ 时该级数收敛。当 $p \leq 0$ 时，通项不趋于 0，级数发散。
公式：$$\left|\sum_{k=1}^n \cos(2k)\right| \leq \frac{1}{|\sin 1|}$$
提示：狄利克雷判别法要求部分和有界且系数单调趋于0，这里 $p>0$ 满足条件。
步骤 4/5
目标：合并讨论不同 p 范围下的原级数收敛性
原级数 $\sum \frac{\sin^2 n}{n^p} = \frac12 \sum \frac{1}{n^p} - \frac12 \sum \frac{\cos(2n)}{n^p}$。
- 当 $p > 1$：第一个级数收敛，第二个级数收敛，故原级数收敛。
- 当 $0 < p \leq 1$：第一个级数发散，第二个级数收敛，故原级数发散（收敛减发散得发散）。
- 当 $p \leq 0$：通项 $\frac{\sin^2 n}{n^p}$ 不趋于 0（因为 $\sin^2 n$ 不恒为0且分母不衰减），故级数发散。
公式：$$\text{原级数收敛} \iff p > 1$$
提示：注意收敛级数与发散级数相减的结果是发散的，不能直接相减判断。
步骤 5/5
目标：验证边界情况 p=1
当 $p=1$ 时，原级数为 $\sum \frac{\sin^2 n}{n}$。分解为 $\frac12 \sum \frac{1}{n} - \frac12 \sum \frac{\cos(2n)}{n}$。调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，而 $\sum \frac{\cos(2n)}{n}$ 收敛（由狄利克雷判别法，$p=1>0$），故整体发散。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2 n}{n} \text{ 发散}$$
提示：p=1 是临界点，必须单独验证，不能直接套用 p>1 的结论。
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