西北工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n} x^{n}$ 的收玫域及和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求收敛半径
对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n} x^{n}$，其系数为 $a_n = \frac{n+1}{n}$。使用比值审敛法求收敛半径：计算极限 $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{n}{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} = 1$。因此收敛半径 $R = \frac{1}{1} = 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1$，$R = 1$
提示：注意比值极限为1时，收敛半径等于该极限的倒数，但需单独判断端点。
步骤 2/4
目标：判断端点收敛性
当 $x=1$ 时，级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)$，通项 $\frac{n+1}{n} \to 1 \neq 0$，级数发散。当 $x=-1$ 时，级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n} (-1)^n$，通项绝对值 $\left| \frac{n+1}{n} (-1)^n \right| = \frac{n+1}{n} \to 1 \neq 0$，不满足收敛必要条件，级数发散。因此收敛域为开区间 $(-1, 1)$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1 \neq 0$
提示：端点处必须单独代入判断，通项不趋于0是发散的直接原因。
步骤 3/4
目标：拆分级数求和函数
在收敛域 $|x|<1$ 内，将原级数拆分为两个已知级数之和：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n} x^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$。第一部分是等比级数：$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} = \frac{x}{1-x}$。第二部分是对数级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} = -\ln(1-x)$。因此和函数为 $S(x) = \frac{x}{1-x} - \ln(1-x)$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} = \frac{x}{1-x}$，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} = -\ln(1-x)$
提示：拆分时注意 $\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$，且两个级数在 $|x|<1$ 内均收敛。
步骤 4/4
目标：写出最终结果
综合以上步骤，幂级数的收敛域为 $(-1, 1)$，和函数为 $S(x) = \frac{x}{1-x} - \ln(1-x)$，其中 $x \in (-1, 1)$。
公式：$S(x) = \frac{x}{1-x} - \ln(1-x)$
提示：和函数表达式仅在收敛域内有效，端点处无定义。
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