西北工业大学 2021年数学分析第0题

对于一个周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$，其傅里叶级数为 $\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$。若级数 $\sum_{n=1}^\infty (|a_n| + |b_n|)$ 收敛，则由 Weierstrass M-判别法可知，该傅里叶级数在实数轴上一致收敛。因此，目标转化为证明在题设条件下，傅里叶系数满足 $\sum_{n=1}^\infty (|a_n| + |b_n|) < \infty$。

已知 $f$ 以 $2\pi$ 为周期且二阶导数连续，则 $f'$ 和 $f''$ 也是连续的周期函数。傅里叶系数公式为 $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx$，$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)\, dx$。对 $a_n$ 进行两次分部积分：第一次令 $u = f(x)$，$dv = \cos(nx) dx$，得 $a_n = -\frac{1}{n\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \sin(nx) dx$；第二次令 $u = f'(x)$，$dv = \sin(nx) dx$，利用周期性消去边界项，得 $a_n = -\frac{1}{n^2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f''(x) \cos(nx) dx$。同理可得 $b_n = -\frac{1}{n^2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f''(x) \sin(nx) dx$。

由于 $f''$ 在闭区间 $[-\pi, \pi]$ 上连续，存在最大值 $M = \max_{x \in [-\pi, \pi]} |f''(x)|$。于是 $|a_n| \le \frac{1}{n^2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f''(x)|\, dx \le \frac{1}{n^2 \pi} \cdot 2\pi M = \frac{2M}{n^2}$。同理 $|b_n| \le \frac{2M}{n^2}$。

由估计式可得 $\sum_{n=1}^\infty (|a_n| + |b_n|) \le \sum_{n=1}^\infty \frac{4M}{n^2} = 4M \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$。而 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 是收敛的 $p$-级数（$p=2>1$），因此该级数收敛。

因为 $|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le |a_n| + |b_n|$，而 $\sum_{n=1}^\infty (|a_n| + |b_n|)$ 收敛，所以原傅里叶级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。