西北工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{|\cos x|}{\sin x+|\cos x|} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分段处理绝对值
由于被积函数含有绝对值 $|\cos x|$，而 $\cos x$ 在 $[0,\pi]$ 上变号，因此需要分段。当 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 时，$\cos x \ge 0$，故 $|\cos x| = \cos x$；当 $x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ 时，$\cos x \le 0$，故 $|\cos x| = -\cos x$。原积分可拆分为：
$$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{-\cos x}{\sin x - \cos x} \, dx$$
公式：$$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{-\cos x}{\sin x - \cos x} \, dx$$
提示：注意分段点 $x = \frac{\pi}{2}$ 处 $\cos x = 0$，不影响积分值，可直接分段。
步骤 2/4
目标：处理第一个积分 $I_1$
记 $I_1 = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, dx$。引入对称积分 $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx$。显然有 $I_1 + J = \int_{0}^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}$。
再通过变量代换 $t = \frac{\pi}{2} - x$，可得 $I_1 = J$。因此 $2I_1 = \frac{\pi}{2}$，解得 $I_1 = \frac{\pi}{4}$。
公式：$$I_1 + J = \frac{\pi}{2}, \quad I_1 = J \Rightarrow I_1 = \frac{\pi}{4}$$
提示：对称性代换 $t = \frac{\pi}{2} - x$ 是处理此类含 $\sin x$ 和 $\cos x$ 对称积分的常用技巧。
步骤 3/4
目标：处理第二个积分 $I_2$
记 $I_2 = \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{-\cos x}{\sin x - \cos x} \, dx$。做变量替换 $t = x - \frac{\pi}{2}$，则 $x = t + \frac{\pi}{2}$，$dx = dt$，积分限变为 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
此时 $\cos x = \cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin t$，$\sin x = \sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right) = \cos t$。代入被积函数：
$$\frac{-\cos x}{\sin x - \cos x} = \frac{-(-\sin t)}{\cos t - (-\sin t)} = \frac{\sin t}{\sin t + \cos t}$$
因此 $I_2 = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin t}{\sin t + \cos t} \, dt = J = \frac{\pi}{4}$。
公式：$$I_2 = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin t}{\sin t + \cos t} \, dt = \frac{\pi}{4}$$
提示：注意 $\sin x - \cos x$ 在 $[\pi/2, \pi]$ 上恒为正，因为 $\sin x \ge 0$，$-\cos x \ge 0$。
步骤 4/4
目标：求和得到最终结果
将 $I_1$ 和 $I_2$ 相加：
$$I = I_1 + I_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$
公式：$$I = \frac{\pi}{2}$$
提示：最终答案是一个简洁的常数，验证时可考虑数值积分近似。
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