西北工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
3． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=n^{2}}^{(n+1)^{2}} \frac{1}{\sqrt{i}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定求和项数
求和从 $i = n^2$ 到 $(n+1)^2$，项数为：
$$(n+1)^2 - n^2 + 1 = (n^2 + 2n + 1 - n^2) + 1 = 2n + 2$$
公式：$$\text{项数} = 2n + 2$$
提示：注意求和区间是闭区间，需要加1，不要漏掉端点。
步骤 2/5
目标：估计每一项的取值范围
当 $i \in [n^2, (n+1)^2]$ 时，$\sqrt{i}$ 的最小值为 $\sqrt{n^2} = n$，最大值为 $\sqrt{(n+1)^2} = n+1$，因此：
$$\frac{1}{n+1} \le \frac{1}{\sqrt{i}} \le \frac{1}{n}$$
公式：$$\frac{1}{n+1} \le \frac{1}{\sqrt{i}} \le \frac{1}{n}$$
提示：注意不等式方向：分母越大，分数值越小。
步骤 3/5
目标：利用夹逼定理构造下界
每一项至少为 $\frac{1}{n+1}$，共有 $2n+2$ 项，因此：
$$\sum_{i=n^2}^{(n+1)^2} \frac{1}{\sqrt{i}} \ge (2n+2) \cdot \frac{1}{n+1} = 2$$
公式：$$S_n \ge 2$$
提示：下界是常数2，与n无关。
步骤 4/5
目标：利用夹逼定理构造上界
每一项至多为 $\frac{1}{n}$，共有 $2n+2$ 项，因此：
$$\sum_{i=n^2}^{(n+1)^2} \frac{1}{\sqrt{i}} \le (2n+2) \cdot \frac{1}{n} = 2 + \frac{2}{n}$$
公式：$$S_n \le 2 + \frac{2}{n}$$
提示：上界随着n增大趋近于2。
步骤 5/5
目标：取极限并得出结论
由夹逼定理，$2 \le S_n \le 2 + \frac{2}{n}$，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{2}{n} \to 0$，因此：
$$\lim_{n \to \infty} S_n = 2$$
公式：$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=n^2}^{(n+1)^2} \frac{1}{\sqrt{i}} = 2$$
提示：夹逼定理要求左右极限相等，这里左右极限都是2。
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