西北工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
4． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2}+i^{2}} \sin \frac{1}{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：整理通项形式，将常数因子提出
求和项为 $\frac{n^2}{n^2+i^2} \sin\frac{1}{n}$，其中 $\sin\frac{1}{n}$ 与 $i$ 无关，可提出和号外：
$$\sum_{i=1}^n \frac{n^2}{n^2+i^2} \sin\frac{1}{n} = \sin\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n \frac{n^2}{n^2+i^2}$$
公式：$$\sum_{i=1}^n \frac{n^2}{n^2+i^2} \sin\frac{1}{n} = \sin\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n \frac{n^2}{n^2+i^2}$$
提示：注意 $\sin\frac{1}{n}$ 是常数因子，可以提取到求和符号前面。
步骤 2/4
目标：利用等价无穷小替换 $\sin\frac{1}{n}$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，有 $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$，因此原极限等价于：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{n^2}{n^2+i^2}$$
公式：$$\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} \quad (n \to \infty)$$
提示：等价无穷小替换只能在乘除因子中使用，这里 $\sin\frac{1}{n}$ 是乘积因子，替换是严格的。
步骤 3/4
目标：将和式化为黎曼和的标准形式
化简 $\frac{n^2}{n^2+i^2} = \frac{1}{1+(i/n)^2}$，于是极限变为：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+(i/n)^2}$$
这是函数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和（右端点），步长为 $\frac{1}{n}$。
公式：$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+(i/n)^2} \to \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$$
提示：注意 $i$ 从 $1$ 到 $n$，对应 $x_i = i/n$，区间 $[0,1]$ 被 $n$ 等分。
步骤 4/4
目标：转化为定积分并计算
根据定积分定义：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$$
所以原极限为：
$$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x \Big|_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}$$
公式：$$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4}$$
提示：计算定积分时注意 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，$\arctan 0 = 0$。
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