西北工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
5． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限类型
当 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}^-$，因此底数 $\frac{\pi}{2} - \arctan x \to 0^+$，指数 $\frac{1}{\ln x} \to 0$，形成 $0^0$ 型不定式。
公式：\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}
提示：注意 $0^0$ 型不定式通常取对数处理。
步骤 2/6
目标：取自然对数转化极限
设 $y = \left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$，则 $\ln y = \frac{1}{\ln x} \cdot \ln\left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right)$。问题转化为求 $\lim_{x \to +\infty} \ln y$。
公式：\ln y = \frac{\ln\left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right)}{\ln x}
提示：取对数后注意极限的保号性。
步骤 3/6
目标：化简底数表达式
利用恒等式 $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$（$x>0$），得 $\frac{\pi}{2} - \arctan x = \arctan\frac{1}{x}$。
公式：\frac{\pi}{2} - \arctan x = \arctan\frac{1}{x}
提示：该恒等式是处理此类问题的关键。
步骤 4/6
目标：使用等价无穷小替换
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，且 $\arctan t \sim t$（$t \to 0$），因此 $\frac{\pi}{2} - \arctan x \sim \frac{1}{x}$。于是 $\ln\left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right) \sim \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln x$。
公式：\frac{\pi}{2} - \arctan x \sim \frac{1}{x} \quad (x \to +\infty)
提示：等价无穷小替换需确认条件，此处 $\ln$ 函数内替换需谨慎，但极限比值成立。
步骤 5/6
目标：计算极限值
代入等价关系：$\ln y \sim \frac{-\ln x}{\ln x} = -1$，严格地，$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right)}{\ln x} = -1$。因此 $\lim_{x \to +\infty} \ln y = -1$。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right)}{\ln x} = -1
提示：注意 $\ln$ 函数的连续性，极限运算顺序可交换。
步骤 6/6
目标：还原原极限
由 $\ln y \to -1$ 及指数函数的连续性，得 $y = e^{\ln y} \to e^{-1} = \frac{1}{e}$。
公式：\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}} = \frac{1}{e}
提示：最终结果需化为最简形式。
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