西北工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．$\left\{f_{n}(x)-f_{2 n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛但不一致收敛；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造一个合适的函数列
考虑经典函数列 $f_n(x) = x^n$，定义在 $[0,1]$ 上。则 $f_n(x) - f_{2n}(x) = x^n - x^{2n} = x^n(1 - x^n)$。
公式：$f_n(x) - f_{2n}(x) = x^n - x^{2n}$
提示：选择 $f_n(x)=x^n$ 是因为它点态收敛但不一致收敛，其差可以简化分析。
步骤 2/4
目标：分析点态收敛性
对任意固定的 $x \in [0,1]$：
- 若 $0 \le x < 1$，则 $x^n \to 0$，故 $x^n(1-x^n) \to 0$；
- 若 $x = 1$，则 $1^n - 1^{2n} = 0$。
因此，$\lim_{n\to\infty} (x^n - x^{2n}) = 0$ 对每个 $x$ 成立，即函数列在 $[0,1]$ 上点态收敛到零函数。
公式：$\lim_{n\to\infty} (x^n - x^{2n}) = 0, \forall x \in [0,1]$
提示：注意 $x=1$ 时直接代入计算，不要用极限过程。
步骤 3/4
目标：判断是否一致收敛
考虑 $\sup_{x\in[0,1]} |x^n - x^{2n}|$。令 $g_n(x)=x^n - x^{2n}$，求导得 $g_n'(x)=n x^{n-1} - 2n x^{2n-1} = n x^{n-1}(1-2x^n)$。令导数为0，得 $x=0$ 或 $x^n = \frac12$，即 $x = \left(\frac12\right)^{1/n}$。在 $x = \left(\frac12\right)^{1/n}$ 处，$g_n(x)=\frac12 - \frac14 = \frac14$。因此 $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f_{2n}(x)| = \frac14$，与 $n$ 无关，不趋于0。
公式：$\sup_{x\in[0,1]}|x^n - x^{2n}| = \frac14 \not\to 0$
提示：最大值点由导数零点确定，注意 $x=0$ 处值为0，不是最大值。
步骤 4/4
目标：得出结论
构造的例子 $f_n(x)=x^n$ 满足：$f_n(x)-f_{2n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上点态收敛到0，但由于上确界恒为 $\frac14$，不一致收敛。因此题目所述情况成立。
公式：结论：点态收敛但不一致收敛
提示：一致收敛要求上确界趋于0，这里上确界为常数，故不一致收敛。
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