西北工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{m} \arctan x}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x(n>0)$ 的收敛性；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析 x → 0⁺ 时的收敛性
当 $x \to 0^+$ 时，$\arctan x \sim x$，因此被积函数 $\frac{x^m \arctan x}{1+x^n} \sim \frac{x^m \cdot x}{1} = x^{m+1}$。积分 $\int_0^1 x^{m+1} \, dx$ 在 $m+1 > -1$ 即 $m > -2$ 时收敛。
公式：\arctan x \sim x \quad (x \to 0^+), \quad \int_0^1 x^p \, dx \text{ 收敛当且仅当 } p > -1
提示：注意 $\arctan x$ 在 $x=0$ 处等价于 $x$，不要忽略这一近似；分母 $1+x^n$ 在 $x \to 0^+$ 时趋于 $1$，不产生奇点。
步骤 2/4
目标：分析 x → +∞ 时的收敛性
当 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，且分母中 $1$ 可忽略，故 $\frac{x^m \arctan x}{1+x^n} \sim \frac{x^m \cdot \frac{\pi}{2}}{x^n} = \frac{\pi}{2} x^{m-n}$。积分 $\int_1^{+\infty} x^{m-n} \, dx$ 在 $m-n < -1$ 即 $m < n-1$ 时收敛。
公式：\arctan x \to \frac{\pi}{2} \quad (x \to +\infty), \quad \int_1^{+\infty} x^p \, dx \text{ 收敛当且仅当 } p < -1
提示：无穷远处的行为由最高次项决定，分母 $1+x^n$ 近似为 $x^n$，分子 $\arctan x$ 趋于常数 $\pi/2$。
步骤 3/4
目标：综合两个条件
积分在 $0$ 和 $+\infty$ 处均需收敛，因此需同时满足 $m > -2$ 和 $m < n-1$。由于 $n > 0$，$n-1 > -1$，故区间 $(-2, n-1)$ 非空当且仅当 $n-1 > -2$，即 $n > -1$，这自动成立。因此收敛条件为 $-2 < m < n-1$。
公式：\text{收敛条件: } -2 < m < n-1
提示：注意 $n>0$ 保证了 $n-1 > -1$，但需检查区间是否非空：当 $n \le 1$ 时 $n-1 \le 0$，但下界 $-2$ 更小，故仍存在 $m$ 满足条件。
步骤 4/4
目标：讨论边界情况
当 $m = -2$ 时，$x \to 0^+$ 处被积函数 $\sim x^{-1}$，积分发散（对数发散）；当 $m = n-1$ 时，$x \to +\infty$ 处被积函数 $\sim \frac{\pi}{2} x^{-1}$，积分发散。因此边界点不收敛。
公式：\int_0^1 x^{-1} \, dx \text{ 发散}, \quad \int_1^{+\infty} x^{-1} \, dx \text{ 发散}
提示：边界情况 $p = -1$ 对应 $\int \frac{dx}{x}$ 发散，需单独说明。
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