西北工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．求 $f(x)=\operatorname{sgn} x(-\pi \leq x \leq \pi)$ 的傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n-1}$ 的和；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数定义与性质
符号函数定义为：
\[
\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & -\pi \le x < 0, \\ 0, & x = 0, \\ 1, & 0 < x \le \pi. \end{cases}
\]
该函数在区间 \([-\pi, \pi]\) 上是奇函数（除零点外），因此傅里叶级数中只含有正弦项。
公式：\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & -\pi \le x < 0, \\ 0, & x = 0, \\ 1, & 0 < x \le \pi \end{cases}
提示：注意函数在 x=0 处有跳跃间断点，傅里叶级数在该点收敛到左右极限的平均值 0。
步骤 2/5
目标：计算傅里叶系数
对于周期为 \(2\pi\) 的奇函数，有 \(a_0 = 0\)，\(a_n = 0\)。正弦系数为：
\[
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sgn}(x) \sin(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx.
\]
计算积分：
\[
\int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx = \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(n\pi)}{n} + \frac{1}{n} = \frac{1 - (-1)^n}{n}.
\]
因此：
\[
b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n}.
\]
公式：b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n}
提示：利用奇函数性质简化积分区间，注意 \(\cos(n\pi) = (-1)^n\)。
步骤 3/5
目标：化简系数并写出傅里叶级数
当 \(n\) 为偶数时，\(1 - (-1)^n = 0\)，故 \(b_n = 0\)；当 \(n\) 为奇数时，设 \(n = 2k-1\)，则 \(1 - (-1)^{2k-1} = 2\)，于是：
\[
b_{2k-1} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2}{2k-1} = \frac{4}{\pi(2k-1)}.
\]
因此傅里叶级数为：
\[
\operatorname{sgn}(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin((2k-1)x)}{2k-1}, \quad -\pi < x < \pi, \, x \neq 0.
\]
公式：\operatorname{sgn}(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin((2k-1)x)}{2k-1}
提示：级数只在 \(x \neq 0\) 时等于函数值，在 \(x=0\) 处收敛到 0。
步骤 4/5
目标：代入特殊点求级数和
取 \(x = \frac{\pi}{2}\)，则 \(\operatorname{sgn}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\)。计算正弦项：
\[
\sin\left((2k-1)\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(k\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (-1)^{k-1}.
\]
代入傅里叶级数得：
\[
1 = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}.
\]
因此：
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} = \frac{\pi}{4}.
\]
公式：\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} = \frac{\pi}{4}
提示：注意 \((-1)^{k-1} = (-1)^{k+1}\)，因此题目所求级数即为 \(\frac{\pi}{4}\)。
步骤 5/5
目标：给出最终答案
所求级数的和为：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1} = \frac{\pi}{4}.
\]
公式：\boxed{\frac{\pi}{4}}
提示：该结果与莱布尼茨级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}\) 一致。
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