西北工业大学 2022年数学分析第0题

设 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，则抛物面为 $z = r^2$，圆锥面为 $z = 2 - r$。令 $r^2 = 2 - r$，得 $r^2 + r - 2 = 0$，解得 $r = 1$（舍去负根）。此时 $z = 1^2 = 1$，故交线为平面 $z=1$ 上的圆 $x^2 + y^2 = 1$。立体在 $0 \le r \le 1$ 内，下曲面为 $z = r^2$，上曲面为 $z = 2 - r$。

使用柱坐标，体积微元为 $r\,dr\,d\theta\,dz$。先对 $z$ 从 $r^2$ 到 $2-r$ 积分： $$V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{z=r^2}^{2-r} r\,dz\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r(2 - r - r^2)\,dr\,d\theta$$ 计算 $r$ 积分： $$\int_{0}^{1} (2r - r^2 - r^3)\,dr = \left[ r^2 - \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$$ 乘以 $2\pi$ 得： $$V = 2\pi \cdot \frac{5}{12} = \frac{5\pi}{6}$$

抛物面 $z = r^2$，有 $\frac{\partial z}{\partial r} = 2r$。曲面面积公式为 $S = \iint \sqrt{1 + (\partial z/\partial r)^2}\,r\,dr\,d\theta$。被积函数为 $\sqrt{1 + 4r^2}$，则： $$S_1 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \sqrt{1+4r^2}\,r\,dr\,d\theta$$ 令 $u = 1+4r^2$，$du = 8r\,dr$，$r\,dr = du/8$，积分限 $r=0 \to u=1$，$r=1 \to u=5$： $$\int_{0}^{1} \sqrt{1+4r^2}\,r\,dr = \int_{1}^{5} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{8} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_{1}^{5} = \frac{1}{12}(5\sqrt{5} - 1)$$ 乘以 $2\pi$ 得： $$S_1 = 2\pi \cdot \frac{5\sqrt{5} - 1}{12} = \frac{\pi(5\sqrt{5} - 1)}{6}$$

圆锥面 $z = 2 - r$，有 $\frac{\partial z}{\partial r} = -1$，$\sqrt{1 + (-1)^2} = \sqrt{2}$。则： $$S_2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \sqrt{2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi \sqrt{2} \cdot \int_{0}^{1} r\,dr = 2\pi \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \pi\sqrt{2}$$

总表面积 $S = S_1 + S_2 = \frac{\pi(5\sqrt{5} - 1)}{6} + \pi\sqrt{2}$，可合并为： $$S = \pi\left(\frac{5\sqrt{5} - 1}{6} + \sqrt{2}\right)$$