西北工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
一．（20分）用极限的严格数学定义证明：
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}}=1$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1$ ，其中 $\displaystyle a>1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简函数表达式，便于估计差值
将函数 $\frac{x^{2}+x-1}{x^{2}}$ 化简为 $1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$，于是差值的绝对值为 $\left|\frac{x^{2}+x-1}{x^{2}} - 1\right| = \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right|$。
公式：\frac{x^{2}+x-1}{x^{2}} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}
提示：化简时注意符号，不要漏掉负号。
步骤 2/6
目标：对差值进行放缩，找到与x有关的简单上界
当 $x > 1$ 时，$\frac{1}{x^{2}} < \frac{1}{x}$，因此 $\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right| \le \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} < \frac{2}{x}$。
公式：\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right| < \frac{2}{x} \quad (x>1)
提示：放缩时要保证不等式方向正确，且条件 $x>1$ 是合理的，因为极限过程是 $x\to+\infty$。
步骤 3/6
目标：用ε-X定义完成证明
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，取 $X = \max\left\{1, \frac{2}{\varepsilon}\right\}$，则当 $x > X$ 时，有 $\left|\frac{x^{2}+x-1}{x^{2}} - 1\right| < \frac{2}{x} < \frac{2}{X} \le \varepsilon$。由极限定义，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}} = 1$。
公式：X = \max\left\{1, \frac{2}{\varepsilon}\right\}
提示：取 $X$ 时要保证同时满足 $x>1$ 和 $\frac{2}{x}<\varepsilon$ 的条件，因此用最大值。
步骤 4/6
目标：将极限问题转化为不等式放缩形式
设 $\sqrt[n]{a} = 1 + h_n$，其中 $h_n > 0$（因为 $a>1$），则 $a = (1 + h_n)^n$。
公式：a = (1 + h_n)^n, \quad h_n > 0
提示：设 $h_n>0$ 是关键，因为 $a>1$ 保证了 $\sqrt[n]{a}>1$。
步骤 5/6
目标：利用二项式定理放缩，得到h_n的上界
由二项式定理：$(1 + h_n)^n \ge 1 + n h_n$，因此 $a \ge 1 + n h_n$，解得 $h_n \le \frac{a-1}{n}$。
公式：(1 + h_n)^n \ge 1 + n h_n \quad \Rightarrow \quad h_n \le \frac{a-1}{n}
提示：二项式展开只取前两项，放缩方向要小心：因为 $h_n>0$，所以不等式是成立的。
步骤 6/6
目标：用ε-N定义完成证明
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N = \left\lceil \frac{a-1}{\varepsilon} \right\rceil$，则当 $n > N$ 时，有 $|\sqrt[n]{a} - 1| = h_n \le \frac{a-1}{n} < \varepsilon$。由极限定义，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$。
公式：N = \left\lceil \frac{a-1}{\varepsilon} \right\rceil
提示：取整符号 $\lceil \cdot \rceil$ 保证 $N$ 是正整数，且 $n>N$ 时不等式成立。
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