西北工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。这里 $I = [0, +\infty)$，$f(x) = \sqrt{x}$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in I: |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：注意一致连续与普通连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：分析函数差的形式并推导关键不等式
对于任意 $x, y \ge 0$，有 $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| = \frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$。进一步，考虑平方差：$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy} \le x + y - 2\min(x,y) = |x-y|$，因此 $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$。
公式：|\sqrt{x} - \sqrt{y}| = \frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}, \quad |\sqrt{x} - \sqrt{y}|^2 \le |x-y|
提示：平方差不等式是证明的关键，它避免了分情况讨论的繁琐。
步骤 3/5
目标：利用不等式直接构造 $\delta$
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon^2$。则对任意 $x, y \ge 0$，若 $|x-y| < \delta = \varepsilon^2$，由 $|\sqrt{x} - \sqrt{y}|^2 \le |x-y| < \varepsilon^2$，两边开平方得 $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| < \varepsilon$。
公式：\delta = \varepsilon^2 \Rightarrow |\sqrt{x} - \sqrt{y}| < \varepsilon
提示：注意开平方时保持不等号方向，因为两边都是非负数。
步骤 4/5
目标：验证 $\delta$ 的普适性
上述推导中，$\delta = \varepsilon^2$ 对区间 $[0, +\infty)$ 上的任意两点 $x, y$ 都成立，无需分情况讨论。因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta = \varepsilon^2$，使得当 $|x-y| < \delta$ 时，恒有 $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta=\varepsilon^2, \forall x,y\ge0: |x-y|<\delta \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{y}|<\varepsilon
提示：这个 $\delta$ 的选取是简洁且有效的，但要注意 $\varepsilon^2$ 可能很小，实际应用中也可取 $\delta = \min(1, \varepsilon^2)$ 等。
步骤 5/5
目标：得出结论
根据一致连续的定义，我们已经找到了满足条件的 $\delta$，因此函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0, +\infty)$ 上一致连续。
提示：证明完成，注意结论的表述要完整。
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