西北工业大学 2026年数学分析第0题

设 $S$ 是 $\mathbb{R}$ 上的一个有界无限点集。由有界性，存在实数 $a < b$，使得 $S \subseteq [a, b]$。

将区间 $[a, b]$ 平分为两个闭区间：$\left[a, \frac{a+b}{2}\right]$ 和 $\left[\frac{a+b}{2}, b\right]$。因为 $S$ 是无限集，这两个子区间中至少有一个包含 $S$ 的无限多个点（否则两个区间都只含有限个点，加起来还是有限个，与 $S$ 无限矛盾）。选取那个含有 $S$ 的无限多个点的子区间，记作 $[a_1, b_1]$。再将 $[a_1, b_1]$ 平分为两个闭区间，同样地，其中至少有一个含有 $S$ 的无限多个点，记作 $[a_2, b_2]$。重复这一过程，我们得到一列闭区间：$[a, b] \supseteq [a_1, b_1] \supseteq [a_2, b_2] \supseteq \cdots$，满足每个区间长度 $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$，且每个区间 $[a_n, b_n]$ 都包含 $S$ 的无限多个点。

由闭区间套定理，存在唯一的实数 $\xi$ 属于所有区间：$\xi \in \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n]$。

要证 $\xi$ 是聚点，即对任意 $\varepsilon > 0$，在 $(\xi - \varepsilon, \xi + \varepsilon)$ 内含有 $S$ 中无穷多个点。由于区间长度趋于 0，存在 $N$ 使得当 $n \ge N$ 时，$b_n - a_n < \varepsilon$。又因为 $\xi \in [a_n, b_n]$，所以 $[a_n, b_n] \subseteq (\xi - \varepsilon, \xi + \varepsilon)$。而每个 $[a_n, b_n]$ 都包含 $S$ 的无限多个点，因此 $(\xi - \varepsilon, \xi + \varepsilon)$ 也含有 $S$ 的无限多个点。由 $\varepsilon$ 的任意性，$\xi$ 是 $S$ 的一个聚点。

这样就证明了任意有界无限点集必有聚点。