西北工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 二阶可导，$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的有界函数，证明：存在 $\displaystyle \xi \in (-\infty,+\infty)$ ，满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确已知条件和目标
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上二阶可导，且 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上有界。需要证明存在一点 $\xi \in (-\infty, +\infty)$，使得 $f''(\xi) = 0$。
提示：注意二阶可导意味着 $f'(x)$ 连续，且 $f''(x)$ 存在（不一定连续），但具有介值性（达布定理）。
步骤 2/8
目标：反证法假设
假设对任意 $x \in \mathbb{R}$，都有 $f''(x) \neq 0$。由于 $f''(x)$ 具有达布性质（介值性），它不能变号，因此要么恒正，要么恒负。不妨先设 $f''(x) > 0$ 恒成立（恒负情况可类似证明）。
提示：达布定理：导函数具有介值性，即使不连续，也不能从正跳到负而不经过零。
步骤 3/8
目标：由 $f''(x)>0$ 推出 $f'(x)$ 严格递增
若 $f''(x) > 0$ 对所有 $x$ 成立，则 $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增。
公式：f'(x_2) > f'(x_1), \quad \forall x_2 > x_1
提示：严格递增意味着 $f'(x)$ 要么无上界，要么趋于有限极限。
步骤 4/8
目标：分析 $f'(x)$ 的极限行为
由于 $f'(x)$ 严格递增，当 $x \to +\infty$ 时，$f'(x)$ 要么趋于 $+\infty$，要么趋于某个有限极限 $L$。若趋于有限极限 $L$，则存在 $X$，当 $x > X$ 时，$f'(x) > \frac{L}{2} > 0$（若 $L>0$）；若 $L \le 0$，则 $f'(x)$ 恒负或趋于非正数，但 $f''(x)>0$ 时 $f'(x)$ 递增，若 $L \le 0$ 则 $f'(x)$ 始终为负，需另作讨论。实际上，无论哪种情况，我们都能找到某个正的下界。
提示：关键在于：严格递增且无上界时，$f'(x)$ 会无限增大；有上界时，极限 $L$ 存在，且由于递增，$f'(x)$ 最终接近 $L$，但 $L$ 可能为负或零，需结合有界性进一步分析。
步骤 5/8
目标：利用拉格朗日中值定理导出矛盾（情况一：$f'(x)$ 无上界）
若 $f'(x)$ 无上界，则对任意大的 $M>0$，存在 $X$ 使得 $f'(X) > M$。取 $a = X, b = X+1$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (X, X+1)$ 使得 $f(X+1)-f(X) = f'(\xi) \cdot 1 > M$。由于 $M$ 可任意大，函数值的增量可以无限大，这与 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界矛盾。
公式：f(b)-f(a) = f'(\eta)(b-a), \quad \eta \in (a,b)
提示：注意这里 $f'(\xi) > f'(X) > M$ 利用了 $f'$ 的严格递增性。
步骤 6/8
目标：利用拉格朗日中值定理导出矛盾（情况二：$f'(x)$ 有上界）
若 $f'(x)$ 有上界，则由于严格递增，极限 $L = \lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在且有限。若 $L > 0$，则存在 $X$，当 $x > X$ 时 $f'(x) > L/2 > 0$。取 $a = X, b = X+1$，则 $f(X+1)-f(X) = f'(\xi) > L/2$，重复此过程，函数值会无限增长，与有界矛盾。若 $L \le 0$，则 $f'(x) < 0$ 对所有 $x$ 成立（因为递增且极限非正），此时考虑 $x \to -\infty$ 方向，类似推理可得函数值会无限减小（负向无界），同样矛盾。
提示：当 $L \le 0$ 时，$f'(x)$ 恒负且递增（即负得越来越少），但 $x \to -\infty$ 时 $f'(x)$ 会趋于 $ -\infty$ 或某个更小的极限，导致函数向负方向无界。
步骤 7/8
目标：处理 $f''(x) < 0$ 恒成立的情况
若 $f''(x) < 0$ 恒成立，则 $f'(x)$ 严格递减。类似地，考虑 $x \to -\infty$ 或 $x \to +\infty$ 方向，可推出 $f(x)$ 无界（例如，若 $f'(x)$ 恒负且递减，则 $x \to +\infty$ 时函数值会趋向 $-\infty$），与有界矛盾。
提示：对称推理，只需将递增改为递减，方向改为负无穷即可。
步骤 8/8
目标：得出结论
所有假设均导致矛盾，因此原假设不成立，必存在某点 $\xi \in (-\infty, +\infty)$ 使得 $f''(\xi) = 0$。
提示：该结论是达布定理与有界性结合的经典应用。
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