西北工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．（20分）解答如下问题：
（1）求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{4}+1}-\left(x^{2}-1\right) e^{\frac{1}{x}}\right)$ ．
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1) 2^{n}}$ 的收玫域与和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：化简极限表达式中的根号部分
当 $x \to +\infty$ 时，$\sqrt{x^4+1} = x^2 \sqrt{1+\frac{1}{x^4}}$。利用展开式 $\sqrt{1+u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots$，其中 $u = \frac{1}{x^4}$，得到：
$$\sqrt{x^4+1} = x^2\left(1 + \frac{1}{2x^4} - \frac{1}{8x^8} + \cdots\right) = x^2 + \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{8x^6} + \cdots$$
公式：$\sqrt{x^4+1} = x^2 + \frac{1}{2x^2} + O\left(\frac{1}{x^6}\right)$
提示：注意展开到足够高阶的项，以便后续相减时抵消主要部分。
步骤 2/8
目标：展开指数部分并相乘
利用 $e^{1/x} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{6x^3} + \frac{1}{24x^4} + \cdots$，计算 $(x^2-1)e^{1/x}$：
先乘 $x^2$：$x^2 + x + \frac{1}{2} + \frac{1}{6x} + \frac{1}{24x^2} + \cdots$
再乘 $-1$：$-1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} - \cdots$
合并得：
$$(x^2-1)e^{1/x} = x^2 + x - \frac{1}{2} - \frac{5}{6x} - \frac{11}{24x^2} + \cdots$$
公式：$(x^2-1)e^{1/x} = x^2 + x - \frac{1}{2} - \frac{5}{6x} - \frac{11}{24x^2} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)$
提示：注意合并同类项时，常数项和 $\frac{1}{x}$ 项的系数要仔细计算。
步骤 3/8
目标：计算极限的差值
将展开后的两项相减：
$$\sqrt{x^4+1} - (x^2-1)e^{1/x} = \left(x^2 + \frac{1}{2x^2} + \cdots\right) - \left(x^2 + x - \frac{1}{2} - \frac{5}{6x} - \frac{11}{24x^2} + \cdots\right)$$
$$= -x + \frac{1}{2} + \frac{5}{6x} + \left(\frac{1}{2x^2} + \frac{11}{24x^2}\right) + \cdots = -x + \frac{1}{2} + \frac{5}{6x} + \frac{23}{24x^2} + \cdots$$
当 $x \to +\infty$ 时，$-x$ 项趋于 $-\infty$，因此极限为 $-\infty$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^4+1} - (x^2-1)e^{1/x}\right) = -\infty$
提示：不要忽略 $-x$ 项，它主导了极限的发散性。
步骤 4/8
目标：求幂级数的收敛半径
系数 $a_n = \frac{1}{n(n+1)2^n}$，利用根值法：
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n(n+1)} \cdot 2} = \frac{1}{2}$$
因此收敛半径 $R = 2$。
公式：$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} = 2$
提示：也可以用比值法，结果相同。
步骤 5/8
目标：判断端点收敛性
当 $x = 2$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$，由裂项 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ 知部分和收敛于 $1$，故收敛。
当 $x = -2$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$，绝对收敛（因为 $\sum \frac{1}{n(n+1)}$ 收敛），故也收敛。
因此收敛域为 $[-2, 2]$。
公式：收敛域：$[-2, 2]$
提示：端点需单独验证，不能直接由收敛半径推出。
步骤 6/8
目标：构造辅助函数并求导
设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)2^n}$，令 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)2^n}$，则 $S(x) = \frac{f(x)}{x}$（$x \neq 0$）。
对 $f(x)$ 求两次导：
$$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n 2^n}, \quad f''(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{2^n} = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n = \frac{1}{x} \cdot \frac{x/2}{1 - x/2} = \frac{1}{2-x}$$
公式：$f''(x) = \frac{1}{2-x}$
提示：求导时注意级数收敛区间 $|x|<2$。
步骤 7/8
目标：积分求 $f'(x)$ 和 $f(x)$
积分 $f''(x)$：$f'(x) = \int \frac{1}{2-x} dx = -\ln|2-x| + C$。由 $f'(0)=0$ 得 $C = \ln 2$，故 $f'(x) = \ln\frac{2}{2-x}$。
再积分：$f(x) = \int \ln\frac{2}{2-x} dx$，令 $t=2-x$，则 $dx = -dt$，得：
$$f(x) = -\int \ln\frac{2}{t} dt = -\int (\ln 2 - \ln t) dt = -t\ln 2 + t\ln t - t + C$$
代回 $t=2-x$：$f(x) = (2-x)\left(\ln(2-x) - \ln 2 - 1\right) + C$。由 $f(0)=0$ 得 $C=2$。
公式：$f(x) = (2-x)\left(\ln\frac{2-x}{2} - 1\right) + 2$
提示：积分常数需通过初始条件确定，注意 $f(0)=0$ 来自级数定义。
步骤 8/8
目标：写出和函数并补充 $x=0$ 的情况
当 $x \neq 0$ 时，$S(x) = \frac{f(x)}{x} = \frac{(2-x)\left(\ln\frac{2-x}{2} - 1\right) + 2}{x}$。
当 $x=0$ 时，由原级数得 $S(0)=0$。
因此和函数为：
$$S(x) = \begin{cases} \frac{(2-x)\left(\ln\frac{2-x}{2} - 1\right) + 2}{x}, & x \in [-2,2], x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$$
公式：$S(x) = \frac{(2-x)\left(\ln\frac{2-x}{2} - 1\right) + 2}{x}$
提示：注意 $x=0$ 是定义域内的点，需单独处理。
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