西北工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
五．（ 15 分）利用 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a^{2} x^{2}}-e^{-b^{2} x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle b>a>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察积分形式，确定解题方法
题目要求计算积分 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a^{2} x^{2}}-e^{-b^{2} x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x\)，其中 \(b>a>0\)。分母为 \(x^2\)，分子为两个指数函数的差，这种形式适合使用分部积分法，将 \(\frac{1}{x^2}\) 视为 \(-\frac{1}{x}\) 的导数。
公式：\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x^2}
提示：注意直接对参数求导会导致发散，因此选择分部积分法。
步骤 2/6
目标：应用分部积分法
设 \(u = e^{-a^2 x^2} - e^{-b^2 x^2}\)，\(dv = \frac{dx}{x^2}\)，则 \(du = (-2a^2 x e^{-a^2 x^2} + 2b^2 x e^{-b^2 x^2}) dx\)，\(v = -\frac{1}{x}\)。分部积分公式：\(\int_0^{+\infty} u dv = \left. u v \right|_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} v du\)。
公式：\int u dv = uv - \int v du
提示：分部积分时需仔细处理符号，特别是 \(v\) 的表达式。
步骤 3/6
目标：计算边界项并验证其为零
当 \(x \to +\infty\) 时，\(u \to 0\)，\(v \to 0\)，乘积为 \(0\)。当 \(x \to 0^+\) 时，利用泰勒展开：\(e^{-a^2 x^2} \approx 1 - a^2 x^2\)，\(e^{-b^2 x^2} \approx 1 - b^2 x^2\)，则 \(u \approx (b^2 - a^2)x^2\)，\(uv \approx -(b^2 - a^2)x \to 0\)。因此边界项整体为 \(0\)。
公式：\lim_{x \to 0^+} (e^{-a^2 x^2} - e^{-b^2 x^2}) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) = 0
提示：边界项为零是分部积分成功的关键，需验证无穷远和原点处的极限。
步骤 4/6
目标：化简剩余积分表达式
原积分 \(I = -\int_0^{+\infty} v du = -\int_0^{+\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) \left(-2a^2 x e^{-a^2 x^2} + 2b^2 x e^{-b^2 x^2}\right) dx\)。计算 \(v du\)：第一项 \(\left(-\frac{1}{x}\right) \cdot (-2a^2 x e^{-a^2 x^2}) = 2a^2 e^{-a^2 x^2}\)，第二项 \(\left(-\frac{1}{x}\right) \cdot (2b^2 x e^{-b^2 x^2}) = -2b^2 e^{-b^2 x^2}\)。因此 \(v du = 2a^2 e^{-a^2 x^2} - 2b^2 e^{-b^2 x^2}\)，代入得 \(I = -\int_0^{+\infty} (2a^2 e^{-a^2 x^2} - 2b^2 e^{-b^2 x^2}) dx\)。
公式：I = -2a^2 \int_0^{+\infty} e^{-a^2 x^2} dx + 2b^2 \int_0^{+\infty} e^{-b^2 x^2} dx
提示：化简时注意负号的处理，避免符号错误。
步骤 5/6
目标：利用已知高斯积分计算结果
已知 \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。作变量代换：令 \(t = a x\)，则 \(dx = dt/a\)，得 \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-a^2 x^2} dx = \frac{1}{a} \int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2a}\)。同理 \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-b^2 x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2b}\)。代入得 \(I = -2a^2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2a} + 2b^2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2b} = -a\sqrt{\pi} + b\sqrt{\pi}\)。
公式：\int_0^{+\infty} e^{-c^2 x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2c}, \quad c>0
提示：代换时注意积分限不变，且系数 \(c\) 出现在分母。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
化简得 \(I = \sqrt{\pi}(b - a)\)。
公式：\boxed{\sqrt{\pi}(b-a)}
提示：最终结果与参数 \(a, b\) 的差成正比，形式简洁。
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