西北工业大学 2026年数学分析第0题

高斯公式（散度定理）为： $$ \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS $$ 其中 $\mathbf{F}$ 是向量场，$\partial V$ 是区域 $V$ 的边界曲面，外侧为正方向。 被积函数 $xy + yz + zx$ 可视为某向量场的散度。设 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，则散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$。 取 $P = \frac{1}{2} x^2 y$，$Q = \frac{1}{2} y^2 z$，$R = \frac{1}{2} z^2 x$，检验得： $$ \frac{\partial P}{\partial x} = xy, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = yz, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = zx $$ 总和为 $xy + yz + zx$。于是原积分化为： $$ \iiint_V (xy+yz+zx)\,dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS $$

区域 $V$ 由 $x \geq 0, y \geq 0, 0 \leq z \leq 1$ 和 $x^2 + y^2 \leq 1$ 确定，即半径为1、高为1的圆柱体在第一卦限的部分（四分之一圆柱）。 边界 $\partial V$ 由以下五部分组成： 1. 底面：$z=0$，$x \geq 0, y \geq 0, x^2+y^2 \leq 1$，法向量朝下 $(0,0,-1)$。 2. 顶面：$z=1$，同上区域，法向量朝上 $(0,0,1)$。 3. 侧面（柱面）：$x^2+y^2=1$，$x \geq 0, y \geq 0, 0 \leq z \leq 1$，法向量水平向外 $(x,y,0)$。 4. 平面 $x=0$：$y \geq 0, 0 \leq z \leq 1, y^2 \leq 1$，法向量为 $(-1,0,0)$。 5. 平面 $y=0$：$x \geq 0, 0 \leq z \leq 1, x^2 \leq 1$，法向量为 $(0,-1,0)$。

**(a) 底面 $z=0$**：法向量 $\mathbf{n} = (0,0,-1)$。 $\mathbf{F} = \left(\frac12 x^2 y,\; \frac12 y^2 \cdot 0,\; \frac12 \cdot 0^2 \cdot x\right) = \left(\frac12 x^2 y,\; 0,\; 0\right)$，点乘 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = 0$，贡献为0。 **(b) 顶面 $z=1$**：法向量 $\mathbf{n} = (0,0,1)$。 $\mathbf{F} = \left(\frac12 x^2 y,\; \frac12 y^2,\; \frac12 x\right)$，点乘 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \frac12 x$。 积分区域 $D$：$x \geq 0, y \geq 0, x^2+y^2 \leq 1$。通量为： $$ \iint_D \frac12 x \, dxdy = \frac12 \iint_D x \, dxdy $$ 用极坐标：$x = r\cos\theta$，$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq \pi/2$，面积元 $r\, dr\, d\theta$。 $$ \frac12 \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{1} (r\cos\theta) \cdot r \, dr\, d\theta = \frac12 \int_0^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta \int_0^1 r^2 \, dr $$ 计算得：$\int_0^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta = 1$，$\int_0^1 r^2 \, dr = \frac13$，结果为 $\frac12 \cdot 1 \cdot \frac13 = \frac16$。

柱面 $x^2+y^2=1$，$x \geq 0, y \geq 0, 0 \leq z \leq 1$，外侧单位法向量 $\mathbf{n} = (x, y, 0)$（因半径1）。 $\mathbf{F} = \left(\frac12 x^2 y,\; \frac12 y^2 z,\; \frac12 z^2 x\right)$，点乘： $$ \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \frac12 x^2 y \cdot x + \frac12 y^2 z \cdot y + \frac12 z^2 x \cdot 0 = \frac12 x^3 y + \frac12 y^3 z $$ 在柱面上，$x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$，$0 \leq \theta \leq \pi/2$，面积元 $dS = d\theta\, dz$（半径1）。通量为： $$ \int_{z=0}^1 \int_{\theta=0}^{\pi/2} \left( \frac12 \cos^3\theta \sin\theta + \frac12 \sin^3\theta \, z \right) d\theta\, dz $$ 先对 $\theta$ 积分第一部分：令 $u = \cos\theta$，$du = -\sin\theta\, d\theta$， $$ \frac12 \int_0^{\pi/2} \cos^3\theta \sin\theta \, d\theta = \frac12 \int_1^0 u^3 (-du) = \frac12 \int_0^1 u^3 \, du = \frac12 \cdot \frac14 = \frac18 $$ 第二部分：$\frac12 \int_0^{\pi/2} \sin^3\theta \, d\theta \cdot z$，计算 $\int_0^{\pi/2} \sin^3\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2\theta)\sin\theta \, d\theta$，令 $u=\cos\theta$ 得 $\int_0^1 (1-u^2)\, du = 1 - \frac13 = \frac23$，故第二部分为 $\frac12 \cdot \frac23 \cdot z = \frac13 z$。 于是柱面通量为： $$ \int_{z=0}^1 \left( \frac18 + \frac13 z \right) dz = \left[ \frac18 z + \frac16 z^2 \right]_0^1 = \frac18 + \frac16 = \frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{7}{24} $$

**(d) 平面 $x=0$**：$x=0$，$y \geq 0$，$0 \leq z \leq 1$，$y^2 \leq 1$（即 $0 \leq y \leq 1$）。外侧法向量 $\mathbf{n} = (-1,0,0)$。 在 $x=0$ 上，$\mathbf{F} = \left(0,\; \frac12 y^2 z,\; 0\right)$，点乘 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = 0$，贡献为0。 **(e) 平面 $y=0$**：$y=0$，$x \geq 0$，$0 \leq z \leq 1$，$x^2 \leq 1$（即 $0 \leq x \leq 1$）。外侧法向量 $\mathbf{n} = (0,-1,0)$。 在 $y=0$ 上，$\mathbf{F} = \left(\frac12 x^2 \cdot 0,\; 0,\; \frac12 z^2 x\right) = \left(0,\; 0,\; \frac12 z^2 x\right)$，点乘 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = 0$，贡献为0。 将所有边界通量相加：底面0 + 顶面 $\frac16$ + 柱面 $\frac{7}{24}$ + 平面 $x=0$ 0 + 平面 $y=0$ 0 = $\frac16 + \frac{7}{24}$。 通分计算：$\frac16 = \frac{4}{24}$，$\frac{4}{24} + \frac{7}{24} = \frac{11}{24}$。 因此原三重积分结果为 $\frac{11}{24}$。