西北工业大学 2026年数学分析第0题

已知新变量：\( u = xy \), \( v = \frac{x}{y} \)。 将两式相乘得：\( uv = x^2 \Rightarrow x = \sqrt{uv} \)。 将两式相除得：\( \frac{u}{v} = y^2 \Rightarrow y = \sqrt{\frac{u}{v}} \)。 （此处默认 \( x>0, y>0 \) 以便取正根。）

利用链式法则： 对x求偏导： \( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \)。 计算：\( \frac{\partial u}{\partial x} = y \), \( \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{y} \)。 所以：\( z_x = y z_u + \frac{1}{y} z_v \)。 对y求偏导： \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \)。 计算：\( \frac{\partial u}{\partial y} = x \), \( \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} \)。 所以：\( z_y = x z_u - \frac{x}{y^2} z_v \)。

由 \( z_x = y z_u + \frac{1}{y} z_v \)，对x再求偏导（y视为常数）： \( z_{xx} = y \frac{\partial}{\partial x}(z_u) + \frac{1}{y} \frac{\partial}{\partial x}(z_v) \)。 其中： \( \frac{\partial z_u}{\partial x} = z_{uu} u_x + z_{uv} v_x = y z_{uu} + \frac{1}{y} z_{uv} \)， \( \frac{\partial z_v}{\partial x} = z_{vu} u_x + z_{vv} v_x = y z_{uv} + \frac{1}{y} z_{vv} \)（利用混合偏导相等）。 代入得： \( z_{xx} = y (y z_{uu} + \frac{1}{y} z_{uv}) + \frac{1}{y} (y z_{uv} + \frac{1}{y} z_{vv}) \) \( = y^2 z_{uu} + z_{uv} + z_{uv} + \frac{1}{y^2} z_{vv} \) \( = y^2 z_{uu} + 2 z_{uv} + \frac{1}{y^2} z_{vv} \)。

由 \( z_y = x z_u - \frac{x}{y^2} z_v \)，对y求偏导（x视为常数）： \( z_{yy} = x \frac{\partial}{\partial y}(z_u) - x \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{y^2} z_v \right) \)。 先算第一部分： \( \frac{\partial z_u}{\partial y} = z_{uu} u_y + z_{uv} v_y = x z_{uu} - \frac{x}{y^2} z_{uv} \)。 第二部分用乘积法则： \( \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{y^2} z_v \right) = -\frac{2}{y^3} z_v + \frac{1}{y^2} \frac{\partial z_v}{\partial y} \)， 而 \( \frac{\partial z_v}{\partial y} = z_{vu} u_y + z_{vv} v_y = x z_{uv} - \frac{x}{y^2} z_{vv} \)。 所以第二部分整体为： \( -\frac{2}{y^3} z_v + \frac{1}{y^2} (x z_{uv} - \frac{x}{y^2} z_{vv}) \)。 代回： \( z_{yy} = x (x z_{uu} - \frac{x}{y^2} z_{uv}) - x \left[ -\frac{2}{y^3} z_v + \frac{x}{y^2} z_{uv} - \frac{x}{y^4} z_{vv} \right] \) \( = x^2 z_{uu} - \frac{x^2}{y^2} z_{uv} + \frac{2x}{y^3} z_v - \frac{x^2}{y^2} z_{uv} + \frac{x^2}{y^4} z_{vv} \) \( = x^2 z_{uu} - \frac{2x^2}{y^2} z_{uv} + \frac{x^2}{y^4} z_{vv} + \frac{2x}{y^3} z_v \)。

原方程：\( x^2 z_{xx} - y^2 z_{yy} = 0 \)。 先计算 \( x^2 z_{xx} \)： \( x^2 z_{xx} = x^2 (y^2 z_{uu} + 2 z_{uv} + \frac{1}{y^2} z_{vv}) = x^2 y^2 z_{uu} + 2x^2 z_{uv} + \frac{x^2}{y^2} z_{vv} \)。 再计算 \( y^2 z_{yy} \)： \( y^2 z_{yy} = y^2 (x^2 z_{uu} - \frac{2x^2}{y^2} z_{uv} + \frac{x^2}{y^4} z_{vv} + \frac{2x}{y^3} z_v) \) \( = x^2 y^2 z_{uu} - 2x^2 z_{uv} + \frac{x^2}{y^2} z_{vv} + \frac{2x}{y} z_v \)。 相减： \( x^2 z_{xx} - y^2 z_{yy} = (x^2 y^2 z_{uu} + 2x^2 z_{uv} + \frac{x^2}{y^2} z_{vv}) - (x^2 y^2 z_{uu} - 2x^2 z_{uv} + \frac{x^2}{y^2} z_{vv} + \frac{2x}{y} z_v) \) \( = 4x^2 z_{uv} - \frac{2x}{y} z_v \)。 令其等于0，得： \( 4x^2 z_{uv} - \frac{2x}{y} z_v = 0 \)。 两边除以2x（x>0）： \( 2x z_{uv} - \frac{1}{y} z_v = 0 \)。 利用 \( x = \sqrt{uv}, y = \sqrt{\frac{u}{v}} \)，代入： \( 2\sqrt{uv} z_{uv} - \frac{1}{\sqrt{u/v}} z_v = 0 \)，即 \( 2\sqrt{uv} z_{uv} - \sqrt{\frac{v}{u}} z_v = 0 \)。 两边乘以 \( \sqrt{u} \)： \( 2u\sqrt{v} z_{uv} - \sqrt{v} z_v = 0 \)，即 \( \sqrt{v}(2u z_{uv} - z_v) = 0 \)。 由于 \( v > 0 \)，故 \( 2u z_{uv} - z_v = 0 \)，即 \( 2u \frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v} = \frac{\partial z}{\partial v} \)。