西北工业大学 2026年数学分析第0题

已知函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上无穷次可导，且存在常数 $M>0$ 使得对所有 $k\in\mathbb{N}^+$ 和所有 $x\in\mathbb{R}$ 有 $|f^{(k)}(x)|\le M$。此外，存在一个无限有界集 $E$，使得 $f(x)=0$ 对任意 $x\in E$ 成立。需要证明 $f(x)\equiv 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上成立。

由于 $E$ 是无限有界集，根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，$E$ 至少有一个聚点（极限点），记作 $x_0$。于是存在 $E$ 中互异的点列 $\{x_n\}$ 使得 $x_n\to x_0$，且 $f(x_n)=0$。由 $f$ 的连续性，取极限得 $f(x_0)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0$。

我们采用归纳法。假设已证 $f(x_0)=f'(x_0)=\dots=f^{(m-1)}(x_0)=0$，考虑 $f^{(m)}(x_0)$。对任意 $x\in E$ 且 $x\neq x_0$，将 $f(x)=0$ 在 $x_0$ 处展开到 $m$ 阶（带拉格朗日余项）： $$0 = f(x) = \frac{f^{(m)}(\xi)}{m!}(x-x_0)^m,$$ 其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间。由于 $x\neq x_0$，必有 $f^{(m)}(\xi)=0$。取 $x\to x_0$（沿 $E$ 中的点列），则 $\xi\to x_0$，由 $f^{(m)}$ 的连续性（可导必连续）得 $f^{(m)}(x_0)=\lim_{\xi\to x_0}f^{(m)}(\xi)=0$。归纳完成，所有阶导数在 $x_0$ 处为零。

由各阶导数一致有界 $|f^{(n)}(\xi)|\le M$ 及 $f^{(k)}(x_0)=0$，对任意 $x$ 和任意正整数 $n$，带拉格朗日余项的泰勒公式给出： $$|f(x)| = \left|\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-x_0)^n\right| \le \frac{M}{n!}|x-x_0|^n.$$ 对任意固定的 $x$，当 $n\to\infty$ 时右边趋于 $0$，因此 $f(x)=0$。特别地，存在 $\delta>0$ 使得在区间 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 上 $f(x)\equiv 0$。

令 $S = \{ x\in\mathbb{R} : f \text{ 在 } x \text{ 的某邻域内恒为零}\}$。由第4步知 $x_0\in S$，故 $S$ 非空。$S$ 显然是开集（由定义）。下证 $S$ 也是闭集：设 $y$ 是 $S$ 的聚点，则存在 $S$ 中点列 $y_n\to y$，每个 $y_n$ 有邻域 $(y_n-\delta_n, y_n+\delta_n)$ 上 $f\equiv 0$。由于 $f$ 连续且 $f(y_n)=0$，得 $f(y)=0$。进一步，对 $y$ 重复第3步的论证（因为 $y$ 也是零点集的聚点），可知 $y$ 的所有阶导数也为零，从而 $y$ 的某邻域内 $f\equiv 0$，即 $y\in S$。故 $S$ 是闭集。$\mathbb{R}$ 中既开又闭的非空子集只能是 $\mathbb{R}$ 本身，因此 $S=\mathbb{R}$，即 $f(x)\equiv 0$ 对一切 $x\in\mathbb{R}$ 成立。