西北工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，则 $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明常值函数的情形
设 $f(x) = C$（常数），则积分可直接计算：
\[
\int_a^b C \cos(px) \, dx = C \cdot \frac{\sin(pb) - \sin(pa)}{p}.
\]
由于 $|\sin(pb) - \sin(pa)| \leq 2$，因此
\[
\left| \int_a^b C \cos(px) \, dx \right| \leq \frac{2|C|}{p} \to 0 \quad (p \to +\infty).
\]
公式：\left| \int_a^b C \cos(px) \, dx \right| \leq \frac{2|C|}{p}
提示：注意正弦函数的有界性，这是估计的关键。
步骤 2/5
目标：推广到阶梯函数
设阶梯函数 $\varphi(x) = \sum_{k=1}^n c_k \chi_{[x_{k-1}, x_k]}(x)$，其中 $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$。则
\[
\int_a^b \varphi(x) \cos(px) \, dx = \sum_{k=1}^n c_k \int_{x_{k-1}}^{x_k} \cos(px) \, dx.
\]
由第一步，每个小段上的积分绝对值不超过 $\frac{2|c_k|}{p}$，因此总和绝对值不超过
\[
\frac{2\sum_{k=1}^n |c_k|}{p} \to 0 \quad (p \to +\infty).
\]
公式：\left| \int_a^b \varphi(x) \cos(px) \, dx \right| \leq \frac{2\sum_{k=1}^n |c_k|}{p}
提示：阶梯函数是有限个常值函数的和，利用三角不等式逐段估计。
步骤 3/5
目标：利用黎曼可积函数的逼近性质
由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，对任意 $\varepsilon > 0$，存在阶梯函数 $\varphi$ 使得
\[
\int_a^b |f(x) - \varphi(x)| \, dx < \varepsilon.
\]
（这是黎曼可积的等价性质之一。）
公式：\int_a^b |f(x) - \varphi(x)| \, dx < \varepsilon
提示：黎曼可积函数可以用阶梯函数在 $L^1$ 范数下逼近，这是证明的关键工具。
步骤 4/5
目标：分解积分并估计
考虑
\[
\left| \int_a^b f(x) \cos(px) \, dx \right|
\leq \left| \int_a^b (f(x) - \varphi(x)) \cos(px) \, dx \right|
+ \left| \int_a^b \varphi(x) \cos(px) \, dx \right|.
\]
第一部分：由于 $|\cos(px)| \leq 1$，有
\[
\left| \int_a^b (f(x)-\varphi(x)) \cos(px) \, dx \right|
\leq \int_a^b |f(x)-\varphi(x)| \, dx < \varepsilon.
\]
第二部分：由第二步，存在 $P > 0$，当 $p > P$ 时，
\[
\left| \int_a^b \varphi(x) \cos(px) \, dx \right| < \varepsilon.
\]
公式：\left| \int_a^b f(x) \cos(px) \, dx \right| \leq \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon
提示：注意利用三角不等式将积分拆分为逼近误差和阶梯函数积分两部分。
步骤 5/5
目标：由任意性得到极限为零
因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $P > 0$，当 $p > P$ 时，
\[
\left| \int_a^b f(x) \cos(px) \, dx \right| < 2\varepsilon.
\]
由 $\varepsilon$ 的任意性，即得
\[
\lim_{p \to +\infty} \int_a^b f(x) \cos(px) \, dx = 0.
\]
公式：\lim_{p \to +\infty} \int_a^b f(x) \cos(px) \, dx = 0
提示：这是黎曼-勒贝格引理的特例，注意 $\varepsilon$ 的任意性在极限定义中的使用。
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