西南财经大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
一、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x+x \sin x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限类型并取对数
设 $y = (\cos x + x \sin x)^{\frac{1}{x^2}}$，则 $\ln y = \frac{1}{x^2} \ln(\cos x + x \sin x)$。原极限为 $1^\infty$ 型，转化为求 $L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x + x \sin x)}{x^2}$，则原极限为 $e^L$。
公式：$\ln y = \frac{1}{x^2} \ln(\cos x + x \sin x)$
提示：注意 $1^\infty$ 型极限的标准处理方法：取对数化为 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型。
步骤 2/5
目标：泰勒展开被求对数的函数
当 $x \to 0$ 时，展开 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，则 $x \sin x = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)$。相加得 $\cos x + x \sin x = 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + O(x^6)$。
公式：$\cos x + x \sin x = 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + O(x^6)$
提示：展开时需保留到 $x^4$ 项，因为分母是 $x^2$，且后续对数展开需要 $u^2$ 项。
步骤 3/5
目标：对内部函数取对数展开
令 $u = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + O(x^6)$，则 $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + O(u^3)$。计算 $u^2 = \frac{x^4}{4} + O(x^6)$，代入得 $\ln(\cos x + x \sin x) = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^4}{4} + O(x^6) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + O(x^6)$。
公式：$\ln(\cos x + x \sin x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + O(x^6)$
提示：对数展开时，$u$ 的平方项只取到 $x^4$ 阶，更高阶可忽略。
步骤 4/5
目标：除以 $x^2$ 并求极限
将上一步结果除以 $x^2$：$\frac{\ln(\cos x + x \sin x)}{x^2} = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{4} + O(x^4)$。当 $x \to 0$ 时，极限 $L = \frac{1}{2}$。
公式：$L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x + x \sin x)}{x^2} = \frac{1}{2}$
提示：注意 $O(x^4)$ 项在 $x \to 0$ 时趋于 0，不影响极限。
步骤 5/5
目标：还原原极限
原极限 $\lim_{x \to 0} (\cos x + x \sin x)^{1/x^2} = e^L = e^{1/2} = \sqrt{e}$。
公式：$\lim_{x \to 0} (\cos x + x \sin x)^{1/x^2} = \sqrt{e}$
提示：最终结果需化为最简形式，$e^{1/2}$ 即为 $\sqrt{e}$。
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