西南财经大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
七、已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(x+y) \sin x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性及可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：判断连续性：计算极限并比较函数值
要判断函数在原点是否连续，需验证极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。考虑表达式 $\left|\frac{(x+y)\sin(xy)}{x^2+y^2}\right|$，利用不等式 $|\sin(xy)| \le |xy|$ 进行放缩。
公式：$|\sin(xy)| \le |xy|$
提示：注意绝对值放缩的方向，确保上界趋于0。
步骤 2/7
目标：连续性：进一步放缩求极限
由 $|x+y| \le |x|+|y| \le \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $|xy| \le \frac{x^2+y^2}{2}$，可得：
$$
\left|\frac{(x+y)\sin(xy)}{x^2+y^2}\right| \le \frac{\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2} \cdot \frac{x^2+y^2}{2}}{x^2+y^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{x^2+y^2}.
$$
当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，上界趋于 $0$，故极限为 $0$，等于函数值。
公式：$\frac{|x+y|\cdot|xy|}{x^2+y^2} \le \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{x^2+y^2}$
提示：注意 $|x+y| \le \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}$ 的推导来自柯西不等式。
步骤 3/7
目标：连续性结论
由于极限等于函数值，函数在原点连续。
公式：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$
提示：连续性判定完成，下一步讨论可微性。
步骤 4/7
目标：可微性：计算偏导数
利用偏导定义：
$$
f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0}{h} = 0,
$$
$$
f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = 0.
$$
两个一阶偏导存在且为0。
公式：$f_x(0,0)=0,\ f_y(0,0)=0$
提示：注意 $f(h,0)=\frac{(h+0)\sin(0)}{h^2+0}=0$，分子为0。
步骤 5/7
目标：可微性：构造可微判别极限
可微要求极限 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$。代入已知值，化简为：
$$
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{(h+k)\sin(hk)}{(h^2+k^2)^{3/2}}.
$$
公式：$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{(h+k)\sin(hk)}{(h^2+k^2)^{3/2}}$
提示：注意分母是 $(h^2+k^2)^{3/2}$，不是 $h^2+k^2$。
步骤 6/7
目标：可微性：沿路径检验极限
取路径 $k=h$，则分子为 $(h+h)\sin(h^2)=2h\sin(h^2)$，分母为 $(h^2+h^2)^{3/2}=(2h^2)^{3/2}=2^{3/2}|h|^3$。当 $h>0$ 时，表达式为：
$$
\frac{2h\sin(h^2)}{2^{3/2}h^3} = \frac{2h\cdot(h^2+o(h^2))}{2^{3/2}h^3} \to \frac{2}{2^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0.
$$
因此极限不为0，函数不可微。
公式：$\frac{2h\sin(h^2)}{2^{3/2}h^3} \to \frac{1}{\sqrt{2}}$
提示：使用 $\sin(h^2) \sim h^2$ 进行等价无穷小替换，注意 $h>0$ 时 $|h|=h$。
步骤 7/7
目标：可微性结论
由于沿特定路径极限不为0，不满足可微定义，故函数在原点不可微。
提示：可微性要求所有路径的极限均为0，找到一个反例即可否定。
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